Wikipédia

„Minkowski-egyenlőtlenség” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése
[ellenőrzött változat][nem ellenőrzött változat]
← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
VizuálisWikiszöveges
a Matematikai tételek kategória eltávolítva (a HotCattel)
Klj (vitalap | szerkesztései)
329 szerkesztés
A cikk terminológiáját, és a lényeges matematikai hibákat javítottam, nem törekedtem arra, hogy jó cikket csináljak belőle. Fontos volna.
1. sor:
A [[matematikai analízis]]ben a '''[[Minkowski]]-egyenlőtlenség''' azonlényegében alapszikazt mutatja, hogy az L<sup>''p''</sup> tér normált normál vektoros térvektortér. Legyen ''S'' egy [[Mérték (matematika)|mértéktér]], legyen 1 ≤ ''p'' ≤ ∞, és legyenek ''f'' és ''g'' az L<sup>''p''</sup>(''S'') elemei. Ekkor ''f'' + ''g'' is L<sup>''p''</sup>(''S'')-ben van, és a következőt kapjuk
 
:<math>\|f+g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p</math>
7. sor:
A Minkowski-egyenlőtlenség nem más, mint a [[háromszög-egyenlőtlenség]] az L<sup>''p''</sup>(''S'')-ben.
 
A [[Hölder-egyenlőtlenség]]hez hasonlóan, a Minkowski-egyenlőtlenséget is be lehet alkalmaznibizonyítani sorozatokra és vektorokra a számlálómérték használatával:
 
:<math>\left( \sum_{k=1}^n |x_k + y_k|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^p \right)^{1/p}</math>
14. sor:
 
==Bizonyítás==
Először bebizonyítjuk, hogy, ha ''f''-nek és ''g''-nek is van véges p-normája, akkor ''f+g''-nek is, ami következik az alábbi egyenlőtlenségből:
Először bebizonyítjuk a következőt
:<math>|f + g|^p \le 2^{p-1}(|f|^p + |g|^p)</math>
Ez az egyenlőtlenség teljesül, mivel felhasználva azt, hogy <math>h(x)=x^p</math> függvény a nemnegatív számokon [[konvex függvény|konvex]] <math>\mathbb{R}^+</math>-ben (mertfeltéve, hogy p nagyobb mint egy), ésa hakonvexitás adefinicióját felírva, és balkalmazva pozitív,a akkorháromszög-egyenlőtlenséget:
:<math>\left(|\frac{1}{2} af + \frac{1}{2} bg\right)|^p \le \frac{1}{2}a|f|^p + \frac{1}{2} b|g|^p</math>
Ez azt jelenti, hogy
:<math>(a|f+b)g|^p \le 2^{p-1}a|f|^p + 2^{p-1}b|g|^p</math>
 
Most már jogosan beszélhetünk <math>(\|f + g\|_p)</math>-ról. Ha ez nulla, akkor a Minkowski-egyenlőség teljesül. Most feltesszük, hogy <math>(\|f + g\|_p)</math> nem nulla. Felhasználva a [[Hölder-egyenlőtlenség]]étet
:<math>\|f + g\|_p^p = \int |f + g|^p \, \mathrm{d}\mu</math>
:<math> \le \int (|f| + |g|)|f + g|^{p-1} \, \mathrm{d}\mu</math>
:<math>=\int |f||f + g|^{p-1} \, \mathrm{d}\mu+\int |g||f + g|^{p-1} \, \mathrm{d}\mu</math>
:<math>\stackrel{\text{H}\ddot{\text{o}}\text{lder}}{\le} \left( \left(\int |f|^p \, \mathrm{d}\mu\right)^{1/p} + \left (\int |g|^p \,\mathrm{d}\mu\right)^{1/p} \right) \left(\int |f + g|^{(p-1)\left(\frac{p}{p-1}\right)} \, \mathrm{d}\mu \right)^{1-\frac{1}{p}} </math>
:<math>= (\|f\|_p + \|g\|_p)\frac{\|f + g\|_p^p}{\|f + g\|_p}</math>
Most már eljutunkmegkapjuk a Minkowski-egyenlőtlenséghezegyenlőtlenséget, ha beszorozzuk mindkét oldalt <math>\frac{\|f + g\|_p}{\|f + g\|_p^p}</math> -val.
 
==További információk==
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/Minkowski-egyenlőtlenség”