A ''' TételThalész-tétel''' (''Thalész'') Ha egya [[ körgeometria]] átmérőjének ''A'' és ''B''egyik végpontjátlegkortját összekötjük a körív ''A''-tól és ''B''-től különböző tetszőleges ''C'' pontjával, akkor az ''ABC'' [[háromszög]] ''C''-nél lévő [[szög]]e [[derékszög]] lesz. ▼
[[Fájl:Thales Tetel.png|jobbra|bélyegkép|350px| A Thalész-tétel szerint a γ szög derékszög]] A '''Thalész-tétel''' a [[geometria]] egyik legkorábbi eredetű tétele. Nevét a milétoszi [[Thalész]]ról kapta. ▼
▲'''Tétel''' (''Thalész'') Ha egy [[kör]] átmérőjének ''A'' és ''B'' végpontját összekötjük a körív ''A''-tól és ''B''-től különböző tetszőleges ''C'' pontjával, akkor az ''ABC'' [[háromszög]] ''C''-nél lévő [[szög]]e [[derékszög]] lesz.
== Bizonyítás ==
A Thalész-tételnek számtalan bizonyítása van. Ezek közül néhány ízelítőül:
=== A háromszögek szögösszegtétele alapján ===
▲[[Fájl:Thales Tetel.png|jobbra|bélyegkép|350px| A Thalész-tétel szerint a γ szög derékszög]] A '''Thalész-tétel''' a [[geometria]] egyik legkorábbi eredetű tétele. Nevét a milétoszi [[Thalész]]ról kapta.
=== alapján ===
Azt fogjuk felhasználni, hogy a háromszög belső szögeinek összege 180°.
[[Fájl:Thales Euklides.png|jobbra|bélyegkép|350px|Ábra Eukleidész bizonyításához]]
Ho(x<sup>2</sup> + m<sup>2</sup>) = 2r<sup>2</sup> + 2r<sup>2</sup> = 4r<sup>2</sup> = (2r)<sup>2</sup> = d<sup>2</sup>
Hosszabbítsuk meg az ''AC'' szakaszt ''C''-n túl egy tetszőleges ''F'' pontig. Legyen ''O'' a kör középpontja. Mivel ''AO'' és ''OC'' a kör sugara, ezért az ''AOC'' háromszög egyenlő szárú, így
:α = α'.
Továbbá, mivel ''OB'' is a kör sugara ezért az ''OBC'' háromszög is egyenlő szárú, így
:β = β'.
Mivel
:γ = α' + β',
ezért az előbbiek miatt
:γ = α + β
is teljesül.
Viszont a [[külsőszög-tétel]] miatt az ''ABC'' háromszög γ' külső szöge egyenlő a két nem mellette fekvő belső szög összegével, azaz
:γ' = α + β
vagyis
:γ = γ'
amiből az következik, hogy γ fele az egyenesszögnek, tehát ''C''-nél derékszög van. [[Quod erat demonstrandum|QED]]
=== Egy elemi geometriai bizonyítás szimmetriatulajdonságokkal ===
[[Fájl:Thales Teglalap.png|jobbra|bélyegkép|350px|Ábra a Thalész-tétel szimmetriákkal történő bizonyításához]]
Rajzoljuk be az ''O'' középpontot és hosszabbítsuk meg a ''CO'' szakaszt ''O''-n túl a kör ívéig, amit metsszen a ''D'' pontban.
Azt kell belátnunk, hogy a ''C''-nél lévő szög derékszög.
Tudjuk, hogy egy négyszög akkor és csak akkor téglalap, ha átlói felezik egymást és egyenlő hosszúságúak. De az ''ADBC'' négyszög átlói egyenlők (mert mindkettő a kör átmérője) és felezik egymást (az ''O'' pontban), így az ''ADBC'' négyszög téglalap. Ebből viszont következik, hogy minden szöge, így a C-nél lévő szög is derékszög. [[Quod erat demonstrandum|QED]]
'''Megjegyzés.''' Természetesen a szimmetriát itt az O pontra vonatkozó középpontos tükrözés jelenti.
=== A Pitagorasz-tételből és megfordításából ===
Legyen a ''k'' kör egy átmérője ''d'', középpontja ''O''. Vegyünk föl a kör ívén egy, az átmérő két végpontjától különböző ''C'' pontot és bocsássunk merőlegest ''C''-ből ''d''-re. Legyen a merőleges talppontja ''T''. Az ''OTC'' derékszögű háromszög oldalait jelöljük így:
[[Fájl:Thales Pithagoras.png|jobbra|bélyegkép|350px|Ábra a Thalész-tétel Pitagorasz-tétellel történő bizonyításához]]
:r = OC (a kör sugara)
:m = TC (az ''ABC'' háromszög ''C''-ből kiinduló magassága)
:x = OT
Továbbá
:a = BC és
:b = AC
Ekkor az ''OTC'', ''ATC'' és ''CTB'' derékszögű háromszögekre rendre felírhatjuk a Pitagorasz-tételt:
:x<sup>2</sup> + m<sup>2</sup> = r<sup>2</sup>
:(r + x)<sup>2</sup> + m<sup>2</sup> = b<sup>2</sup>
:(r – x)<sup>2</sup> + m<sup>2</sup> = a<sup>2</sup>
Azt fogjuk belátni, hogy az ABC háromszög olyan, hogy két oldalának négyzetösszege egyenlő a harmadik négyzetével ( a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> = d<sup>2</sup> ). A Pitagorasz-tétel megfordítása szerint ugyanis ekkor ''ABC'' derékszögű háromszög (és a derékszög a ''d''-vel szemközt van).
: a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> = (r – x)<sup>2</sup> + m<sup>2</sup> + (r + x)<sup>2</sup> + m<sup>2</sup> = r<sup>2</sup> -2rx + x<sup>2</sup> + m<sup>2</sup> + r<sup>2</sup> + 2rx + x<sup>2</sup> + m<sup>2</sup> = 2r<sup>2</sup> + 2x<sup>2</sup> + 2m<sup>2</sup> = 2r<sup>2</sup> + 2(x<sup>2</sup> + m<sup>2</sup>) = 2r<sup>2</sup> + 2r<sup>2</sup> = 4r<sup>2</sup> = (2r)<sup>2</sup> = d<sup>2</sup>
Tehát a ''C''-nél lévő szög derékszög. [[Quod erat demonstrandum|QED]]
| 