„Szögfüggvények” változatai közötti eltérés

A képen néhány nevezetes szög van feltüntetve radiánban mérve. A kör középpontjától jobbra húzott egyenes jelenti a 0 radián szöget. A pozitív szögek másik szára ettől az óramutató járásával ellenkező irányban, míg a negatív szögek másik szára az óramutató járásával megegyező irányban helyezkednek el. A kör középpontjában vegyünk fel egy derékszögű koordináta-rendszert. Ha felrajzolunk egy derékszögű háromszöget, melynek egyik befogója az x tengelyre esik, egyik csúcspontja a középpontban van, átfogója egységnyi, vagyis az egységsugarú kör sugara és a középpontban lévő szög α, akkor az átfogó kör kerületére eső pontjának ''x'' koordinátája cos α, ''y'' koordinátája pedig sin α lesz. Mivel az átfogó egyenlő a sugárral és így hossza egységnyi, írható: sin α = ''y''/1 és cos α = ''x''/1.

A tangens függvény grafikonja jelentősen eltér a szinusz és koszinusz függvényétől. A tangens ''x'' tengellyel való metszéspontjai megfelelnek azoknak az x értékeknek, melyeknél a szinusz metszi az ''x'' tengelyt, szakadása pedig pontosan azon ''x'' helyeken van, ahol cos(x) értéke 0. A függvényértékek lassan változnak ''k''π szögek környékén, de nagyon gyors a változás (''k'' + 1/2)π környékén. A tangens függvénynek minden (''k'' + 1/2)π értéknél függőleges [[aszimptota|aszimptotája]] van. Ennek az az oka, hogy a függvényérték végtelenhez tart, ha a [[független változó]] (x) balról tart (''k'' + 1/2)π-hez és mínusz végtelenhez, ha x jobbról tart (''k'' + 1/2)π-hez.

Az összes többi szögfüggvény is ábrázolható az ''O'' középpontú egységsugarú kör segítségével, és régebben így is definiálták. Például a kör ''AB'' húrjához tartozó [[középponti szög]] fele θ, Indiában a sin(θ)-t az AC távolsággal definiálták először. Az OC vízszintes szakasz cos(θ), versin(θ) = 1 ‒ cos(θ) pedig a ''CD'' távolság. Az érintőn kijelölt ''AE'' szakasz hossza pedig tg(θ), innen a szögfüggvény neve (tangens = érintő). Az ''OE'' távolság a sec(θ) és csc(θ) = ''OF''. ''DE'' sz exszekáns: exsec(θ) = sec(θ) ‒ 1. Az ábrából látható, hogy a szekáns és tangens függvénynek szakadása van θ = π/2-nél (90°-nál), a koszekánsnak és a kotengensnek pedig θ = 0-nál. (Sok hasonló ábra szerkesztése lehetséges és a szögfüggvények közötti alapvető összefüggések geometriailag is igazolhatók.)

\mathrm{tg} x &= x+\frac13 x^3+\frac{2}{15}x^5+\frac{17}{315}x^7+\dotsb\\

&= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} .

&= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}.

A szekáns hatványsora: <math>\sec(x) = 1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{24}x^4 + \frac{61}{720}x^6 + \cdots, = 4\pi \, \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k(2k+1)} {(2k+1)^2 \pi^2 - 4 x^2 } \qquad \text{ha } |x| < \frac{\pi}{2}</math>

A kétdimenziós ''V'' [[vektortér]]en belül, mely az egyenlet összes megoldását tartalmazza, a szinusz függvény az egyetlen megoldás, mely kielégíti az ''y''(0) = 0 és ''y''′(0) = 1 kezdeti feltételeket, a koszinusz függvény pedig a az egyetlen megoldása az ''y''(0) = 1 és ''y''′(0) = 0 kezdeti feltételeknek. Ez a definíció teljesen egyenértékű az Euler-formulával. Ez a differenciálegyenlet nemcsak a szinusz és koszinusz definíciójára használható, hanem alkalmas arra is, hogy segítségével igazolhatók legyenek a szinusz és koszinusz függvényre felírható [[szögfüggvények azonosságai|azonosságok]] is.