Wikipédia

„Négyzetgyök” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
VizuálisWikiszöveges
Zöldbetű-ellenes intervenció
Nincs szerkesztési összefoglaló
10. sor:
== Definíció a valós számok halmazán ==
Ha ''a'' nemnegatív valós szám, akkor ''a'' négyzetgyökén azt a szintén nemnegatív számot értjük, aminek a négyzete ''a'':
:<math>b=\sqrt{a} \quad \iff \quad b^2=a, \ a\geq 0, \ b\geq 0</math>
 
A valós számok halmazán negatív számokra nincs értelmezve a négyzetgyökvonás, hiszen bármely valós szám négyzete nemnegatív.
19. sor:
Azt a [[Függvény (matematika)|függvényt]], ami a nemnegatív számokhoz a négyzetgyöküket rendeli, négyzetgyökfüggvénynek nevezzük:
 
:<math>f: \ \mathbb{R} \setminus \mathbb{R}^{-} \to \mathbb{R} \qquad x \mapsto \sqrt{x} </math>
 
A négyzetgyökfüggvény a pozitív számok halmazán [[differenciálhatóság|differenciálható]], deriváltja
58. sor:
Azokat a számokat, melyeket úgy kapunk, hogy egy valós negatív előjelű valós számból vonunk négyzetgyököt, imaginárius számoknak nevezzük. A [[komplex számok]] két fő részből tevődnek össze: egy képzetes ''(imaginárius)'' számból és egy [[valós számok|valós számból]].
== Komplex négyzetgyökfüggvény ==
A komplex négyzetre emelés a valóshoz hasonlóan nem injektív. Leszűkítéssel azonban injektívvé tehető. Ennek inverz függvénye a négyzetgyökfüggvény egy ága, ami függ az adott leszűkítéstől.
 
A négyzetgyökfüggvény főértéke abból az ágból adódik, amit a
 
:<math> D_H:=\{x+ \mathrm i\, y\in\mathbb{C}|y>0 \text{ vagy } (y=0 \text{ } x\geq 0)\}</math>
 
tartományra leszűkített négyzetre emelés definiál. Ez a leszűkítés már bijektív, és inverze, a négyzetgyökvonás főága az egész komplex számsíkon értelmezhető.
== Számítása ==
A valós és a komplex számok négyzetgyöke többféleképpen is kiszámítható.
81. sor:
 
:<math>\begin{align}
\sqrt{x+1} &= 1 + \sum_{n=1}^\infty
{ (-1)^{n+1} (2n-2)!
\over
n! \; (n-1)! \; 2^{2n-1} }x^n\\
 
&= 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 \pm \dots
\end{align}</math>
* CORDIC-algoritmus a gépi számításokhoz
107. sor:
 
:<math>
\sqrt{z} = \sqrt{|z|} \mathrm e^{ \mathrm i\left(\arg(z)/2+n\pi\right)},
</math>
 
137. sor:
 
:<math>
\left(\frac xp\right) =
\begin{cases}
-1, & \text{ha }x \text{ nemkvadratikus maradék modulo }p \text{ ist}\\
0, & \text{ha }x \text{ és }p \text{ nem relatív prímek }\\
1, & \text{ha }x \text{ kvadratikus maradék modulo }p \text{ ist}
\end{cases}</math>.
 
Ha ''x'' nemkvadratikuskvadratikus maradéknemmaradék, akkor nincs négyzetgyöke. Ha ''x'' és ''p'' nem relatív prímek, akkor a megoldás a nulla maradékosztály. Végül, ha ''x'' kvadratikus maradék, akkor két négyzetgyöke van. Ezzel az esettel foglalkozunk a továbbiakban.
 
* '''''p'' négyes maradéka három'''
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/Négyzetgyök”