„Teljes differenciál” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a Bot: 8 interwiki link áthelyezve a Wikidata d:q1305350 adatába |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
3. sor:
'''Teljes differenciál''' alatt a [[matematika|matematikában]] (közelebbről az [[matematikai analízis|analízisben]]) az egyváltozós függvény [[differenciál]]jának legalább kétféle többdimenziós általánosítását értjük:
* egyrészt egy [[normált tér]]ből normált térbe képező függvényt legjobban közelítő [[affin leképezés]]t, melyet másként '''Fréchet-derivált'''nak is neveznek (bővebben erről lesz szó a szócikkben)
* másrészt egy valós értékű, [[parciális derivált|parciálisan differenciálható]], többváltozós függvény megváltozásának lineáris részét, melyet a [[matematikai fizika|matematikai fizikában]] és a [[harmonikus analízis]]ben '''potenciálfüggvény teljes
== Fréchet-féle differenciálhatóság ==
10. sor:
:<math>\lim\limits_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)-\mathbf{A}(x-a)}{||x-a||_2}=0\;\;\;\;\;.</math> {{refindex|2. megj.}}
Az itt szereplő '''A''' lineáris operátort az ''f'' függvény ''a''-beli '''differenciál'''jának vagy '''Fréchet-derivált'''jának nevezzük és
:<math>df(a)\;</math>-val (mint differenciál) illetve <math>D\!f(a)\;</math>-val (mint derivált)
jelöljük.
22. sor:
:''Lásd még'': [[Jacobi-mátrix]], [[tenzor]]
Ha az ''f'' : ''U'' <math>\rightarrow</math>'''R'''<sup>n</sup> függvény az ''U'' nyílt halmaz minden pontjában totálisan differenciálható, akkor mindenhol a parciális deriváltjai is léteznek és a differenciál kifejezhető velük. Azt a függvényt, mely ''U'' minden ''x'' eleméhez a ''df(x)'' leképezést rendeli '''differenciál leképezés'''nek nevezzük. Rögzített ''x''-re a ''df(x)'' lineáris leképezésnek felírható a koordinátamátrixa (a sztenderd bázispárban, vagyis, ha a (1,0,0,…,0), (0,1,0, …, 0), …, (0,0,0, …, 0, 1) bázisvektorokat tekintjük mindkét vektortérben). Belátható, hogy az
:<math>[df(x)]\;</math>
''n'' <math>\times</math> ''m''-es mátrix a '''Jacobi-mátrix''', melynek elemeit az ''f'' komponensfüggvényeinek
:<math>\left(\mathbf{J}_x^f\right)_{ij}:=\left.\frac{\partial f_j}{\partial x_i}\right|_{x}=[df(x)]_{ij}</math>
'''J'''<sub>x</sub><sup>f</sup> az ''f'' függvény ''x'' ponthoz tartozó Jacobi-mátrixát jelölő szimbólum.
32. sor:
==Teljes differenciál és függvényműveletek==
A teljes differenciálás egy adott ''a'' pontban tekinthető úgy, mint az ''a'' pontban totálisan differenciálható függvényeken végzett operáció. Ebben a tekintetben nevezzük létezik a ''D<sub>a</sub>'' differenciáloperátor, mely egy ''f'' (''a''-ban totálisan differenciálható) függvényhez a ''Df(a)'' leképezést rendeli. Bizonyos műveletekkel összekapcsolt függvények differenciáljának
=== A differenciálás linearitása ===
Legyen ''f'' és ''g'' : '''R'''<sup>m</sup><math>\mapsto</math>'''R'''<sup>n</sup> az ''a'' pontban totálisan differenciálható függvény. Ekkor tetszőleges λ és μ valós számokkal az λ''f'' +
:<math>d(\lambda f+ \mu g)(a)=\lambda\, df(a) + \mu \,dg(a)\;</math>
=== Függvénykompozíció differenciálása ===
Ha ''g'' : '''R'''<sup>m</sup><math>\mapsto</math>'''R'''<sup>n</sup> differenciálható az ''a'' pontban és ''f'' : '''R'''<sup>n</sup><math>\mapsto</math>'''R'''<sup>k</sup> differenciálható a ''g(a)'' pontban, továbbá ''f'' o ''g'' értelmezési tartományának belső pontja ''a'', akkor ''f'' o ''g'' is differenciálható, és
:<math>d(f\circ g)(a)= df(g(a))\circ dg(a)</math>
=== Skaláris szorzat differenciálása ===
Az egyváltozós, vektorértékű, ''a''-ban differenciálható ''f'' függvény esetén a Fréchet-derivált egyértelműen megfeleltethető a df(a)1 számnak, a df(a)x=(df(a)1)<math>\cdot</math> x azonosság miatt. Ekkor df(a)1-et f'(a)-val jelöljük és ezt nevezzük az ''a''-beli deriváltnak.
Ha ''f'' és ''g'' : '''R'''<math>\mapsto</math>'''R'''<sup>n</sup> az ''a'' pontban totálisan differenciálható függvény, akkor az ''f'' <math>\cdot</math> ''g'' függvény is totálisan differenciálható és differenciálja:
56. sor:
== Normált terek között ható függvény differenciálása ==
Legyen ''f'' : ''E''<math>\mapsto</math>''F'' normált térből normált térbe képező függvény. Azt mondjuk, hogy ''f'' differenciálható az értelmezési tartománya egy ''a'' belső pontjában (a ||.||<sub>E</sub> és ||.||<sub>F</sub> normák szerint), ha létezik olyan '''A''' : ''E''<math>\rightarrow</math>''F'' ''folytonos'' lineáris leképezés, mellyel a
:<math>\lim\limits_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)-\mathbf{A}(x-a)}{||x-a||}</math>
határérték létezik.
Itt ||.|| az ''E''
Lényeges, hogy ebben az általános esetben elengedhetetlen, hogy az '''A''' leképezés folytonos legyen, mert bár véges dimenziós ''E'' esetén minden '''A''' : ''E''<math>\rightarrow</math>''F'' lineáris leképezés folytonos, de ha ''E'' végtelen dimenziós, akkor megadható (még egydimenziós ''F'' esetén is) olyan lineáris függvény, mely nem
Az függvényműveletekkel kapcsolatos szabályok itt is változatlanul érvényesek, feltéve, hogy az adott térben értelmezve vannak (például a skaláris vagy az algebrai szorzás).
69. sor:
Legyen Φ az '''R'''<sup>n</sup> egy nyílt részhalmazán értelmezett, valós értékű, mindenhol totálisan differenciálható függvény (az ilyet ''potenciálfüggvény''nek is nevezik). Φ teljes megváltozása egy adott '''r'''<sub>0</sub> pont körül kifejezhetjük a következőképpen:
:<math>\Delta\Phi=\Phi(\mathbf{r})-\Phi(\mathbf{r}_0)= grad\;\Phi(\mathbf{r_0})\cdot \Delta \mathbf{r}+\alpha(\mathbf{r})|\Delta \mathbf{r}|</math>
ahol
:<math>grad\; \Phi(\mathbf{r}_0)</math> jelen esetben a Φ Jacobi-
:<math>\Delta \mathbf{r}=\mathbf{r}-\mathbf{r}_0</math> a független változó megváltozása, |Δ'''r'''| ennek a hossza, <math>\cdot</math> a skaláris szorzás,
:<math>\alpha(\mathbf{r})</math> pedig olyan függvény, mely folytonos módon eltűnik az '''r'''<sub>0</sub>-ban
Az előbbi képletben lévő lineáris kifejezést, azaz
:<math>d\Phi= grad\;\Phi(\mathbf{r_0})\cdot \Delta \mathbf{r}</math>
kifejezést nevezzük a Φ potenciálfüggvény teljes differenciáljának, melyet leggyakrabban koordinátákkal kiírva szokás megadni:
80. sor:
===Teljes differenciálkritérium===
Gyakran a Δx mennyiségeket ''dx''-szel jelölik, így
:<math>d\Phi= \frac{\partial \Phi}{\partial x_1}\cdot d x_1+\frac{\partial \Phi}{\partial x_2}\cdot d x_2 + ... +\frac{\partial \Phi}{\partial x_n}\cdot d x_n </math>
Matematikai fizikai jellegű szövegekben sokszor szerepel, hogy '''valamely kifejezés teljes differenciál'''. Egy példa erejéig szorítkozzunk a ''kétváltozós függvények'' esetére. Azon, hogy
:<math>X(x,y)\,dx + Y(x,y)\,dy</math>
teljes differenciál, azt értik, hogy létezik olyan Φ(x,y) kétváltozós függvény, hogy ''X(x,y)dx'' + ''Y(x,y)dy''
:<math>\frac{\partial X(x,y)}{\partial y} = \frac{\partial Y(x,y)}{\partial x} </math>
További ekvivalens megfogalmazás az, hogy X(x,y) és Y(x,y) folytonosan parciálisan differenciálható és az
:<math>\int\limits_{(x_0,y_0),\Gamma}^{(s,t)}X(x,y)\,dx + Y(x,y)\,dy</math>
vonalintegrál független a Γ úttól, azaz mindig ugyanazt az értéket adja az (x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>) ponttól az (s,t) pontig integrálva. (Lényeges, hogy ebben az esetben dx és dy csak integrálási szimbólum.)
| |||