„Teljes differenciál” változatai közötti eltérés

Ha az ''f'' : ''U'' <math>\rightarrow</math>'''R'''ⁿ függvény az ''U'' nyílt halmaz minden pontjában totálisan differenciáható, akkor mindenhol a parciális deriváltjai is léteznek és a differenciál kifejezhető velük. Azt a függvényt, mely ''U'' minden ''x'' eleméhez a ''df(x)'' leképezést rendeli '''differenciál leképezés'''nek nevezzük. Rögzített ''x''-re a ''df(x)'' lineáris leképezésnek felírható a koordinátamátrixa (a sztenderd bázispárban, vagyis, ha a (1,0,0,...,0), (0,1,0, ..., 0), ..., (0,0,0, ..., 0, 1) bázisvektorokat tekintjük mindkét vektortérben). Belátható, hogy az így keletkező

''n'' <math>\times</math> ''m''-es mátrix a '''Jacobi-mátrix''', melynek elemeit az ''f'' komponensfüggvényeinek parciális deriváltjai adják a következőképpen. Ha ''f''-et úgy tekintjük, mint az (f₁, f₁, f₂, ... ,f_n) ''m'' változós, de valós értékű függvényekből álló függvényrendszer, akkor a [df(x)] mátrix (i,j)-edik eleme:

'''J'''_x^f az ''f'' függvény ''x'' ponthoz tartozó Jacobi-mátrixát jelölő szimbólum.

Bár a Jacobi-mátrix a sztenderd bázisban van definiálva, és a bázis megváltoztatása esetén értékei szintén megváltoznak, de -- az előbbi tétel miatt -- ugyanannak a bázisfüggetlen lineáris leképezésnek lesz a koordinátamátrixa. Ezt a tulajdonságot azaz, hogy a Jacobi-mátrix "együtt transzformálódik a bázissal", vagy "kovariáns a koordinátarendszer-váltással" a matematikai fizikában úgy fogalmazzák meg, hogy a Jacobi-mátrix ''tenzormennyiség''. Innen ered az az elnevezés, hogy a '''J'''_x^f mátrix az ''f'' függvény '''deriválttenzor'''a. Mivel az ''U'' minden pontjában felírhatjuk '''J'''_x^f-t, ezért az ''U''-n értelmezett '''J'''^f : ''x'' <math>\mapsto</math> '''J'''_x^f leképezés úgy nevezett ''tenzormező'', mely minden ''x''-hez tenzort rendel.{{hiv|tenzor}}