„Banach–Tarski-paradoxon” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a File renamed: File:Tarski.png → File:Doubling of a sphere, as per the Banach-Tarski Theorem.png this is not Alfred Tarski |
aNincs szerkesztési összefoglaló |
||
5. sor:
A [[paradoxon]]t [[Stefan Banach]] és [[Alfred Tarski]] bizonyította be [[1924]]-ben. Banach és Tarski ezt a bizonyítást annak szemléltetésére szánta, hogy a kiválasztási axióma helytelen. Ma azonban a matematikusok a bizonyítást helyesnek fogadják el, és nem az axiómát vetik el, hanem az eredményt elfogadják és érvényes [[tétel]]ként jegyzik. Így ez a [[matematikai bizonyítás|bizonyítás]] csupán egy antiintuitív eredményt ad, és az intuíciónk tévedhetőségét illusztrálja.
A paradoxon feloldásához azt kell figyelembe vennünk, hogy ami paradoxnak tűnik, az az, hogy a két gömb térfogata kétszer akkora, mint az egy gömb térfogata, az átdarabolás pedig „normális” esetben térfogattartó. Azonban a tételben szereplő
== Szabatos leírás ==
A háromdimenziós [[euklideszi tér]] ''A'' és ''B'' részhalmazát '''átdarabolható'''nak nevezzük, ha felbonthatók diszjunkt részhalmazok egyesítésére: <math>A=\cup_{i=1}^n A_i</math> és <math>B=\cup_{i=1}^n B_i</math> olymódon, hogy minden ''i''-re, <math>A_i</math>
:Az egységgömb átdarabolható két egységgömbbé.
Öt résszel meg lehet ezt tenni, kevesebbel nem. A paradoxonnak van egy erősebb változata:
18. sor:
<!--
In other words, a marble could be cut up into finitely many pieces and reassembled into a planet, or a telephone could be transformed into a water lily. These transformations are not possible with real objects made of a finite number of [[atoms]] and bounded volumes, but it is possible with their geometric shapes.
What makes the paradox possible is that the pieces are infinitely convoluted.
The paradox also holds in all dimensions higher than three.
The paradox shows that it is impossible to define "volume" on all bounded subsets of Euclidean space such that equi-decomposable sets will have equal volume.
28. sor:
The proof is based on the earlier work of [[Felix Hausdorff]], who found a [[Hausdorff paradox|closely related paradox]] 10 years earlier; in fact, the Banach–Tarski paradox is a simple corollary of the technique developed by Hausdorff.
Logicians most often use the term "paradox" for a statement in logic which creates problems because it causes contradictions, such as the [[Liar paradox]] or [[Russell's paradox]].
-->
36. sor:
# A két elemmel generált [[szabad csoport]] paradox felbontása.
# A háromdimenziós tér két olyan, origó körüli forgatásának megadása, amelyek a két elemmel generált szabad csoporttal [[izomorfizmus|izomorf]] csoportot generálnak.
# Az egységgömb felszínének paradox felbontása (a [[kiválasztási axióma]] segítségével).
# Befejezés: a felszín felbontásának kiterjesztése a tömör gömb paradox felbontásává.
A bizonyítás lépései részletesen:
'''1. lépés''' Az ''a'' és ''b'' által generált [[szabad csoport]] álljon az összes véges sztringből (karakterláncból), ami az ''a'', ''a''<sup>−1</sup>, ''b'' és ''b''<sup>−1</sup> karakterekből áll, úgy hogy ''a'' nincs ''a''<sup>−1</sup>, és ''b'' nincs ''b''<sup>−1</sup> mellett. Két ilyen karakterláncot úgy lehet összefűzni, hogy egymás mögé írjuk őket, majd a „tiltott” karaktereket kitöröljük (az [[egységelem]]mel helyettesítjük). Pl. ''abab''<sup>−1</sup>''a''<sup>−1</sup> összefűzve a ''abab''<sup>−1</sup>''a''-val ''abab''<sup>−1</sup>''a''<sup>−1</sup>''abab''<sup>−1</sup>''a''-t eredményezi, amiből ''b''<sup>−1</sup>''a''<sup>−1</sup>''ab'' törlése után ''abaab''<sup>−1</sup>''a'' marad.
[[Fájl:Paradoxical decomposition F2.svg|bélyegkép|jobbra|250px|A ''S''(''a''<sup>−1</sup>) halmaz és a ''aS''(''a''<sup>−1</sup>) halmaz a [[Cayley-gráf]]ján
<math>F_2</math>-t a következőképpen bontjuk „paradox módon” diszjunkt halmazokra:
''S''(''a'') legyen az ''a''-val kezdődő sztringek halmaza, és hasonló módon definiáljuk ''S''(''a''<sup>−1</sup>), ''S''(''b'') és ''S''(''b''<sup>−1</sup>)-et is. Tehát:
:<math>F_2={e}\cup S(a)\cup S(a^{-1})\cup S(b)\cup S(b^{-1})</math>
Hasonlóan igaz:
:<math>F_2=aS(a^{-1})\cup S(a)</math>, és
57. sor:
:<math>F_2=bS(b^{-1})\cup S(b)</math>.
A ''a'' ''S''(''a''<sup>−1</sup>) jelentése, hogy
'''2. lépés''' A 3 dimenzióban a <math>F_2</math>-höz hasonlóan viselkedő (vele [[izomorf]]) csoporthoz tekintsük a 3 dimenziós térben 2 egymásra merőleges tengelyt (legyen az x és z tengely) és az ezek körüli – π irracionális többszörösével (pl. arccos(1/3)) való – elforgatásokat, ''A''-t és ''B''-t. (A 2 dimenziós tér túl „szűk” ehhez, mert ott csak egy tengelyt tudunk választani, így csoportunk kommutatív lenne.) Könnyen belátható, hogy ''A'' és ''B'' pont úgy viselkedik, mint ''a'' és ''b'', így az ''A'' és ''B'' által generált csoport izomorf <math>F_2</math>-vel. Az ''A'' és ''B'' forgatások által generált csoportot nevezzük '''H'''-nak. Természetesen így már '''H''' paradox felbontása is megvan.
'''3. lépés''' Az ''S''<sup>2</sup> egységgömbfelületet a következőképpen bontjuk fel '''H''' segítségével: az egységgömb felületének két pontja akkor, és csak akkor tartozik ugyanazon részhez, ha '''H'''-nak pontosan egy olyan forgatása van, ami az elsőt a másodikba viszi. Most a [[kiválasztási axióma|kiválasztási axiómát]] alkalmazva ki tudunk minden részből választani pontosan egy pontot, ezen pontok halmaza legyen ''M''. Így minden ''S''<sup>2</sup> beli pontot pontosan egyféleképpen tudunk elérni '''H''' egy-egy forgatását alkalmazva ''M'' elemeire, és ezért '''H''' paradox felbontása „továbbadódott” ''S''<sup>2</sup>-nek.
65. sor:
'''4. lépés''' Végül, kössük össze ''S''<sup>2</sup> felületi pontjait az origóval, így ''S''<sup>2</sup>, azaz az egységgömb ''felülete'' helyett az ''egységgömb'' mínusz az origó paradox felbontását kapjuk meg. (Azt, hogy a teljes egységgömböt hogyan lehet felbontani, itt nem részletezzük.)
[[NB]].: Ez a vázlat átugrik néhány részlet fölött.
<!--
We now discuss each of these steps in more detail.
'''Step 1.''' The free group with two generators ''a'' and ''b'' consists of all finite strings that can be formed from the four symbols ''a'', ''a''<sup>−1</sup>, ''b'' and ''b''<sup>−1</sup> such that no ''a'' appears directly next to an ''a''<sup>−1</sup> and no ''b'' appears directly next to a ''b''<sup>−1</sup>. Two such strings can be concatenated and converted into a string of this type by repeatedly replacing the "forbidden" substrings with the empty string. For instance: ''abab''<sup>−1</sup>''a''<sup>−1</sup> concatenated with ''abab''<sup>−1</sup>''a'' yields ''abab''<sup>−1</sup>''a''<sup>−1</sup>''abab''<sup>−1</sup>''a'', which gets reduced to ''abaab''<sup>−1</sup>''a''.
[[Fájl:Paradox felbontás F2.png|bélyegkép|jobbra|250px|A ''S''(''a''<sup>−1</sup>) halmaz és a ''aS''(''a''<sup>−1</sup>) halmaz ''F''<sub>2</sub>-nek a [[Cayley ábra]]ján]]
77. sor:
:<math>F_2={e}\cup S(a)\cup S(a^{-1})\cup S(b)\cup S(b^{-1})</math>
but also
:<math>F_2=aS(a^{-1})\cup S(a)</math>, and
83. sor:
:<math>F_2=bS(b^{-1})\cup S(b)</math>.
(The notation ''a'' ''S''(''a''<sup>−1</sup>) means take all the strings in ''S''(''a''<sup>−1</sup>) and concatenate them on the left with ''a''.) Make sure that you understand this last line, because it is at the core of the proof.
'''Step 2.''' In order to find a group of rotations of 3D space that behaves just like (or "isomorphic to") the group <math>F_2</math>, we take two orthogonal axes and let ''A'' be a rotation of arccos(1/3) about the first and ''B'' be a rotation of arccos(1/3) about the second.
'''Step 3.''' The unit sphere ''S''<sup>2</sup> is partitioned into [[orbit (group theory)|orbit]]s by the [[group action|action]] of our group '''H''': two points belong to the same orbit if and only if there's a rotation in '''H''' which moves the first point into the second.
'''Step 4.''' Finally, connect every point on ''S''<sup>2</sup> with a ray to the origin; the paradoxical decomposition of ''S''<sup>2</sup> then yields a paradoxical decomposition of the solid unit ball. (The center of the ball needs a bit more care, but we omit this part in the sketch.)
'''NB.''' This sketch glosses over some details. One has to be careful about the set of points on the sphere which happen to lie on an axis of rotation of some matrix in '''H'''. On the one hand, there are countably many such points so they "do not matter", and on the other hand it is possible to patch up even those points. The same applies to the center of the ball.
96. sor:
==További információk==
* Beke Tibor: [http://db.komal.hu/KomalHU/cikk.phtml?id=198917 Hogyan csináljunk aranyat, avagy a Banach-Tarski paradoxonról], ''Középiskolai Matematikai Lapok'', 1989/11
* Laczkovich Miklós:
* Stan Wagon: ''The Banach-Tarski Paradox'', Encyclopedia of Mathematics and its Applications, '''24''', 1985.
* Leonard M. Wapner: ''The pea and the sun'', A K Peters, 2005. ISBN 1-56881-213-2
|