„Fourier-transzformáció” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Nincs szerkesztési összefoglaló |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
1. sor:
Legyen az <math>f \, </math> [[függvény (matematika)|függvény]] [[Lebesgue-mérték|Lebesgue-integrálható]] az <math>I \, </math> [[intervallum]]on. Ekkor <math>f \, </math> '''Fourier-transzformáltja''' az
:<math>\mathrm Ff= \int _I f(t)e^{-2 \pi ixt}dt \,</math>
függvény.
A Fourier-transzformáció kiterjeszthető a négyzetesen Lebesgue-integrálható függvények terére:
:<math>\mathrm Ff= \lim _{n \rightarrow \infty}\int _I f_n(t)e^{-2 \pi ixt}dt \,</math>,
ahol az összes <math>f_n \, </math> függvény [[integrálható]]. Ha az <math>I \, </math> intervallum végtelen, akkor ez egy valódi kiterjesztés.
A Fourier-transzformáció [[disztribúció (matematika)|disztribúciókra]] is definiálható.
== Tulajdonságai ==
30 ⟶ 29 sor:
:<math>F(f*g)=Ff \cdot Fg \,</math>
Legyen <math>Mf=2 \pi itf(t) \,</math> és jelölje <math>f \, </math> deriváltját <math>Df \, </math>. Ha <math>f \, </math> és <math>Mf \, </math> is integrálható, akkor <math>Ff \, </math> mindenütt [[differenciálható]], és
:<math>DFf = -FMf \, </math>
:<math>FDf = MFf \, </math>
45 ⟶ 44 sor:
ahol <math>\nu _0 \,</math> az alap[[frekvencia]], a periódus reciproka.
* A differenciálható függvények Fourier-sora pontonként konvergens, ami nem igaz minden integrálható függvényre (Kolmogorov konstrukciója).
* Sőt, van folytonos függvény, aminek Fourier-sora periódusonként egy pontban divergál (Reiman).
* A Dirichlet-Jordan konvergenciatétel szerint az <math>f(x) \, </math> korlátos változású függvény Fourier-sora minden <math>x \, </math> pontban <math>f(x) \, </math>-beli jobb és bal oldali határértékének [[számtani közép|számtani közepéhez]] tart.
* A négyzetesen integrálható függvények Fourier-sora normában konvergens. Ez a [[Riesz-Fischer-tétel]] közvetlen következménye.
60 ⟶ 59 sor:
f(t)
=& -\frac{8h}{\pi^2}\left[ {\cos{\omega t} + \frac{1}{3^2} \cos{3 \omega t} + \frac{1}{5^2} \cos{5 \omega t} + \cdots}\right] \\[.6em]
=& -\frac{8h}{\pi^2} \sum_{k=1}^\infty \dfrac{ \cos ((2k-1) \omega t)}{(2k-1)^2}
\end{array}</math>
66 ⟶ 65 sor:
f(t)
=& \frac{8h}{\pi^2}\left[ {\sin {\omega t} - \frac {1}{3^2}\sin{3 \omega t} + \frac {1}{5^2}\sin {5 \omega t} \mp \cdots}\right] \\[.6em]
=& \frac {8h}{\pi^2} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \dfrac{ \sin((2k-1) \omega t)}{(2k-1)^2}
\end{array}</math>
74 ⟶ 73 sor:
Hasonlóan a négyszögjel:
: <math>\begin{array}{rl}
f(t)
=& \frac{4h}{\pi}\left[ {\sin {\omega t} + \frac {1}{3}\sin{3 \omega t} + \frac {1}{5}\sin{5 \omega t} + \cdots}\right] \\[.6em]
=&
\end{array}</math>
83 ⟶ 82 sor:
f(t)
=& \frac{4h}{\pi}\left[ {\cos {\omega t} - \frac {1}{3}\cos{3 \omega t} + \frac {1}{5}\cos{5 \omega t} \mp \ldots}\right] \\[.6em]
=&
\end{array}</math>
95 ⟶ 94 sor:
f(t)
=&- \frac{2h}{\pi}\left[ {\sin {\omega t} - \frac {1}{2}\sin{2 \omega t} + \frac {1}{3}\sin {3 \omega t} \mp \cdots}\right] \\[.6em]
=& - \frac {2h}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1} \dfrac {\sin k \omega t}{k}
\end{array}</math>
102 ⟶ 101 sor:
[[Fájl:FourierSinus.svg|thumb|150px|A szinuszjel különböző közelítései]]
: <math>\begin{array}{rl}
f(t)
=& h\left| \sin {\omega t} \right|\\[.6em]
128 ⟶ 127 sor:
:<math>x_n=\frac{1}{\sqrt {2\pi}}\int _{-\pi F}^{\pi F}y_ne^{i \omega t_n}d \omega</math>
=== Algoritmus ===
A gyors Fourier-transzformáció egy rekurzív algoritmus, ami az Oszd meg és uralkodj! elvén működik.
Legelőször is idézzük fel, hogy a <math> 2n \,</math> pontú diszkrét Fourier-transzformáció a következőképpen definiálható:
:<math>f_j =
\qquad
j = 0,\dots,2n-1. </math>
142 ⟶ 141 sor:
hasonlóan, jelölje a páratlan indexű együtthatókat
:<math> x''_0 = x_1,\ x''_1 = x_3,\ ...,\ x''_{n-1} = x_{2n-1} \, </math>
és legyen ezek diszkrét Fourier-transzformáltja
:<math> f''_0,\ ...,\ f''_{n-1} \, </math>.
Ekkor:
151 ⟶ 150 sor:
\begin{matrix}
f_j & = &
& = & \sum_{k=0}^{n-1} x'_{k} e^{-\frac{2\pi i}{n} jk}
& = & \left\{ \begin{matrix}
\end{matrix}
169 ⟶ 168 sor:
<math>\mathrm{function}\ \operatorname{fft}(n,\vec f): </math>
:<math>\mathrm{if}\ (n = 1)
::<math>\mathrm{return}\ \vec f
:<math>\mathrm{else} \ </math>
::<math>\vec g = \operatorname{fft}\left(\tfrac{n}{2},
::<math>\vec u = \operatorname{fft}\left(\tfrac{n}{2}, (f_1, f_3, \ldots ,f_{n-1})\right) </math>
184 ⟶ 183 sor:
\begin{align}
c_k = g_k + u_k \cdot e^{-2 \pi i k/n} \\
c_{k+n/2} = g_k - u_k \cdot e^{-2 \pi i k/n}
\end{align}
</math>
| |||