Wikipédia

„Valós értékű függvény” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
VizuálisWikiszöveges
Nincs szerkesztési összefoglaló
2014. szeptember 9. óta változatlan
1. sor:
{{építés alatt}}
{{redir2|Valós függvény|A|Valós változójú függvény}}
A '''valós értékű függvény''' olyan [[Függvény (matematika)|függvény]], amelynek értékkészlete a [[valós számok]] [[halmaz]]ának részhalmaza. Vagyis olyan függvény, amely az értelmezési tartományának minden eleméhez egy valós számot rendel.
6 ⟶ 5 sor:
 
== Általános definíciók ==
Legyen <math>X</math> egy tetszőleges [[halmaz]]. Jelölje <math>{\mathcal F}(X,{\mathbb R}) </math> az összes olyan függvény halmazát, amelyeknek alaphalmaza <math>X</math> képhalmazuk pedig a [[valós számok]] halmaza <math>\mathbb{R}</math>. Mivel <math>\mathbb{R}</math> [[Test (algebra)|testet]] alkot, így <math>{\mathcal F}(X,{\mathbb R}) </math> egy [[vektortér]]:
*<math>\ f+g: x \mapsto f(x) + g(x)</math> – definiálható a [[vektorösszeadás]]
*<math>\ \mathbf{0}: x \mapsto 0</math> – [[egységelem|létezik additív egységelem]]
20 ⟶ 19 sor:
== Mérhetőség ==
{{see also|Borel függvény}}
[[valós számok|Valós]] [[Borel halmaz]]ok által alkotott [[σ-algebra|σ-algebrák]] fontos jelentőséggel bírnak. Ha <math>X</math>-nek létezik ilyen σ-algebrája és az <math>f</math> függvény olyan, hogy <math>f^{-1}(B)</math> elme a σ-algebrának, bármely <math>B</math> Borel halmazra, akkor <math>f</math> egy úgynevezett [[mérhető függvény]]. A mérhető függvények [[vektortér|vektorteret]] és algebrát is alkotnak, lásd [[#.C3.81ltal.C3.A1nos_defin.C3.ADci.C3.B3kÁltalános definíciók|fentebb]].
 
{{lefordítandó}}
<!---Továbbá az <math>X</math> fölötti [[Mi van???]] Moreover, a set (family) of real-valued functions on {{mvar|X}} can actually ''define'' a σ-algebra on {{mvar|X}} generated by all preimages of all Borel sets (or of [[interval (mathematics)|intervals]] only, it is not important). This is the way how σ-algebras arise in ([[Kolmogorov's axioms|Kolmogorov's]]) [[probability theory]], where real-valued functions on the [[sample space]] {{math|&Omega;}} are real-valued [[random variable]]s.--->
 
== Folytonosság ==
A valós számok [[Topologikustopologikus tér|topologikus teret]] és [[Metrikus_térmetrikus tér#Teljes_metrikus_terekteljes metrikus terek|teljes metrikus teret]] alkot. A [[folytonos függvény|folytonos]] valós-értékű függvények fontosak a topologikus és a metrikus terek elméletében. A [[Weierstrass-tétel]] szerint, bármely [[kompaktság|kompakt tér]]en értelmezett valós folytonos [[függvény]] felveszi globális maximumát és minimumát, vagyis léteznek [[szélsőérték|globális szélsőértékei]].
 
Maga a [[metrikus tér]] definíciója is egy valós-értékű úgynevezett távolságfüggvényen, a ''metrikán'' alapul, amely egy folytonos függvény. A [[kompakt Hausdorff téren értelmezett folytonos függvények]] különösen fontosak. A konvergens sorozatok szintén tekinthetőek valós-értékű folytonos függvényeknek egy speciális topologikus tér felett.
 
A folytonos függvények szintén vektorteret és algebrát alkotnak (lásd [[#.C3.81ltal.C3.A1nos_defin.C3.ADci.C3.B3kÁltalános definíciók|fentebb]]), és a a [[mérhető függvény]]ek részhalmazát képezik, mivel bármely topologikus térnek van a nyitott (vagy zárt) részhalmazai által generált σ-algebrája.
 
<div style="display: none;"><nowiki>== Simaság ==
46. sor:
Other contexts where real-valued functions and their special properties are used include [[monotonic function]]s (on [[ordered set]]s), [[convex function]]s (on vector and [[affine space]]s), [[harmonic function|harmonic]] and [[subharmonic function|subharmonic]] functions (on [[Riemannian manifold]]s), [[analytic function]]s (usually of one or more real variables), [[algebraic function]]s (on real [[algebraic variety|algebraic varieties]]), and [[polynomial]]s (of one or more real variables).
</nowiki></div>
 
==Lásd még==
* [[Valós analízis]]
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/Valós_értékű_függvény”