|
A rövid definíció szerint a valószínűségi mező egy olyan [[Mérték (matematika)|mértéktér]], ahol a teljes tér mértéke egy.
Legyen <math>\Omega</math> tetszőleges halmaz, <math>\mathcal A \subseteq \mathcal P (\Omega)</math> <math>\scriptstyle \sigma</math>-algebra (és <math>P:\mathcal A \to [0,1]</math> mérték, azaz
* <math>\emptyset \in \mathcal A</math>,
* minden <math>A \in \mathcal A</math> halmaz esetén <math>\Omega \setminus A\in \mathcal A</math> és,
* minden <math>(A_n)\subseteq \mathcal A</math> halmazsorozat esetén <math>\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal A</math>) és,
* <math>P(\emptyset)=0</math>, és
<math>P:\mathcal A \to [0,1]</math> mérték (azaz <math>P(\emptyset)=0</math> és* minden <math>(A_n)\subseteq \mathcal A</math> páronként diszjunkt halmazokból álló halmazsorozat esetén <math>P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right)=\sum_{n=1}^{\infty} P(A_n)</math> ), ha <math>P(\Omega)=1</math>, akkor az <math>(\Omega,\mathcal A,P)</math> mértékteret valószínűségi mezőnek nevezzük. ▼ha <math>P(\Omega)=1</math>, akkor az <math>(\Omega,\mathcal A,P)</math> mértékteret valószínűségi mezőnek nevezzük.
== Elnevezések ==
▲<math>P:\mathcal A \to [0,1]</math> mérték (azaz <math>P(\emptyset)=0</math> és minden <math>(A_n)\subseteq \mathcal A</math> páronként diszjunkt halmazokból álló halmazsorozat esetén <math>P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right)=\sum_{n=1}^{\infty} P(A_n)</math>), ha <math>P(\Omega)=1</math>, akkor az <math>(\Omega,\mathcal A,P)</math> mértékteret valószínűségi mezőnek nevezzük.
Az <math>\Omega</math> halmazt eseménytérnek nevezzük.
Az <math>\omega \in \Omega</math> halmaztelemeket elemi eseménytérnekeseményeknek nevezzük.
Az <math>\mathcal A \subseteq \mathcal P (\Omega)</math> <math>\scriptstyle \sigma</math>-algebrát eseményalgebrának nevezzük.
Az <math>A \in \mathcal A</math> halmazokat eseményeknek nevezzük.
hármas egy valószínűségi mező, ha teljesíti a következőket:
* Ω eseménytér - egy tetszőleges nem[[üres halmaz]],
A <math>P:\mathcal A \to [0,1]</math> mértéket valószínűségnek nevezzük.
* <math style="position:relative;top:-.2em">\scriptstyle \mathcal{F}</math> ⊆ 2<sup>Ω</sup> egy [[σ-algebra]] - Ω részhalmazainak egy speciális halmaza, elemei az események, részletesebben:
** <math style="position:relative;top:-.2em">\scriptstyle \mathcal{F}</math> tartalmazza az üres halmazt: <math style="position:relative;top:-.2em">\scriptstyle \emptyset\in \mathcal{F}</math>,
** <math style="position:relative;top:-.2em">\scriptstyle \mathcal{F}</math> zárt a komplementerképzésre: ha ''A''∈<math style="position:relative;top:-.2em">\scriptstyle \mathcal{F}</math>, akkor (Ω∖''A'')∈<math style="position:relative;top:-.2em">\scriptstyle \mathcal{F}</math>,
** <math style="position:relative;top:-.2em">\scriptstyle \mathcal{F}</math> zárt a megszámlálható unióra: ha ''A<sub>i</sub>''∈<math style="position:relative;top:-.2em">\scriptstyle \mathcal{F}</math> minden ''i''=1,2,..., -re, akkor (∪<sub>''i''</sub>''A<sub>i</sub>'')∈<math style="position:relative;top:-.2em">\scriptstyle \mathcal{F}</math>
* ''P'': <math style="position:relative;top:-.2em">\scriptstyle \mathcal{F}</math>→[0,1] — egy függvénye <math style="position:relative;top:-.2em">\scriptstyle \mathcal{F}</math>-nek, melyre
** ''P'' [[σ-additivitás|σ-additív]]: ha {''A<sub>i</sub>''}⊆<math style="position:relative;top:-.2em">\scriptstyle \mathcal{F}</math> megszámlálható sok [[diszjunkt halmazok|páronként diszjunkt]] halmaz, akkor ''P''(⊔''A<sub>i</sub>'') = ∑''P''(''A<sub>i</sub>''), ahol “⊔” jelöli a [[diszjunkt unió]]t.
** A teljes eseménytér mértéke 1-gyel egyenlő: ''P''(Ω) = 1.
== Kapcsolódó szócikkek ==
| 