„Cramer-szabály” változatai közötti eltérés

 

== A szabály ==

 

:<math>\begin{matrix}

b = \begin{pmatrix} b_1\\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{pmatrix}\,.

</math>

 

Ha most ''B_i''-vel jelöljük azokat az ''A''-ból képzett mátrixokat, melyek ''i''. oszlopa helyén a ''b'' vektor áll, azaz

== Bizonyítása ==

Mivel ''Ax'' = ''b'', és det(''A'') ≠ 0, ezért ''A'' [[invertálható mátrix]]. Ekkor

ahol az adj(''A'') az ''A'' mátrix [[adjungált (mátrixinvertálás)|adjungáltját]] jelöli. Részletesen felírva az adjungáltat azt kapjuk, hogy

:<math> \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}

* A megoldhatóság esetei:

{| {{széptáblázat}}

|-

| style="background-color:#F0F0F0;font-weight:bold;text-align:center;" | Ha <math>b = \vec{0} \,,</math> azaz az egyenletrendszer<br /> [[homogén (matematika)|homogén]] || Az <math> x = \vec{0} </math> triviális megoldás mellett további megoldások léteznek, de felkutatásukra a Cramer-szabály nem használható, más módszerek szükségesek a kiszámításukhoz, például az [[LU felbontás]] || Egy triviális megoldás van, az <math> x = \vec{0} \,;</math><br /> a Cramer-szabály használható, de felesleges

|-

|}

* Ha kevesebb egyenletünk van, mint ahány ismeretlen, akkor nem alkalmazható.