„Dirichlet-féle L-függvény” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
→Gyökök: Euler-szorzat; Függvényegyenlet |
→Függvényegyenlet: Kapcsolat a Hurwitz-féle zéta-függvénnyel |
||
37. sor:
:<math>\Lambda(1-s,\overline{\chi})=\frac{i^ak^{1/2}}{\tau(\chi)}\Lambda(s,\chi).</math>
Itt τ(χ)a [[
:<math>\sum_{n=1}^k\chi(n)\exp(2\pi in/k).</math>
Jegyezzük meg, hogy |τ(χ)| = ''k''<sup>1/2</sup>.
==Kapcsolat a Hurwitz-féle zéta-függvénnyel==
A Dirichlet-féle ''L''-függvények felírhatók Hurwitz-féle zéta-függvények lineáris kombinációiként a racionális helyeken.
Rögzítve a ''k'' ≥ 1 egészet, a modulo ''k'' karakterek Dirichlet-féle L-függvényei felírhatók ζ(''s'',''q'') konstans együtthatós lineáris kombinációjaként, ahol ''q'' = ''m''/''k'' és ''m'' = 1, 2, ..., ''k''. Eszerint racionális helyekre a Hurwitz-féle zéta-függvény analitikus tulajdonságai kapcsolatban állnak a Dirichlet-féle L-függvényekkel.
Speciálisan, legyen χ egy modulo ''k'' karakter. Ekkor Dirichlet-féle ''L''-függvénye:
:<math>L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac {\chi(n)}{n^s}
= \frac {1}{k^s} \sum_{m=1}^k \chi(m)\; \zeta \left(s,\frac{m}{k}\right).</math>
Továbbá egy triviális karakter Dirichlet-féle ''L''-függvénye a (ekkor a ''k'' modulus prím) a [[Riemann-féle zéta-függvény]]:
:<math>\zeta(s) = \frac {1}{k^s} \sum_{m=1}^k \zeta \left(s,\frac{m}{k}\right).</math>
| |||