„Abszolút konvergencia” változatai közötti eltérés

[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
(→‎Kapcsolat a konvergenciával: Átrendezés és feltétlen konvergencia)
Adva legyen az <math>\sum_{n=0}^{\infty} a_n</math> sor a normált ''G'' Abel-csoport elemeiből vett tagokkal, és legyen σ a természetes számok permutációja. Ekkor <math>\sum_{n=0}^\infty a_{\sigma(n)}</math> ennek egy átrendezése. Egy sorozat feltétlenül konvergens, ha minden átrendezése ugyanahhoz a határértékhez tart, mint az eredeti.
 
Ha ''G'' teljes, akkor az abszolút konvergenciából következik a feltétlen konvergencia. Ennek megfordítása már érdekesebb. Valós sorozatokra, így komplex és véges dimenziós pontsorozatokra is Riemann átrendezési tételéből következik. Ez azonban már általánosabb esetekben nem igaz, hiszen az ℓ<sup>2</sup> [[Hilbert-tér]]ben van sorozat, ami nem abszolút konvergens, de feltétlenül konvergens. Példa:
:<math>a_n = \tfrac{1}{n} e_n,</math>
 
ahol <math>\{e_n\}_{n=1}^{\infty}</math> ortonormált bázis. A. Dvoretzky és C. A. Rogers tétele<ref>Dvoretzky, A.; Rogers, C. A. (1950), "Absolute and unconditional convergence in normed linear spaces", Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. '''36''':192&ndash;197.</ref> szerint a végtelen dimenziós Banach-terekben létezik nem abszolút konvergens, de feltételesen konvergens sor.
 
[[Kategória:Analízis]]