„Egyenletesen folytonos függvény” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
→Definíció: Lokális folytonosság és globális egyenletes folytonosság |
→Lokális folytonosság és globális egyenletes folytonosság: a definíciók hasonlósága |
||
24. sor:
==Lokális folytonosság és globális egyenletes folytonosság==
A [[folytonos függvény|folytonosság]] lokális tulajdonság: egy függvény lehet folytonos, vagy nem folytonos egy pontban. Beszélhetünk arról is, hogy egy függvény egy intervallumon folytonos, ami azt jelenti, hogy az intervallum minden pontjában folytonos. Ezzel szemben az egyenletes folytonosság globális tulajdonság, mivel a definíció pontpárokra épül. Másrészt azonban lehetséges egy olyan definíciót adni, ami lokális az ''f''* természetes kiterjesztést tekintve, de ez nem terjeszthető ki tetszőleges hiperreális értékű függvényre.
Szerkezetükben hasonlók azok az állítások, hogy egy adott függvény folytonos, vagy abszolút folytonos ugyanazon az intervallumon. Az ''I'' intervallum minden ''x'' pontjában folytonos ''f'' függvény kvantorokkal felírva:
: <math>\forall \varepsilon > 0\, \forall x \in I \, \exists \delta > 0\, \forall y \in I \, ( \, |y-x|<\delta \, \Rightarrow \, |f(y)-f(x)|<\varepsilon \, ),</math>
ha pedig felcseréljük a második és a harmadik kvantálást, akkor az egyenletes folytonossághoz jutunk:
: <math>\forall \varepsilon > 0\, \exists \delta > 0\, \forall x \in I\, \forall y \in I\, ( \, |y-x|<\delta \, \Rightarrow \, |f(y)-f(x)|<\varepsilon \,)</math>
Eszerint a folytonossághoz tetszőleges ''x'' ponthoz található ''δ'', hogy:
: <math>\cdots \forall x \, \exists \delta \cdots ,</math>
míg abszolút folytonossághoz minden ''x'', ''y'' pontpárra ugyanannak a ''δ''-nak kell jónak lennie:
: <math>\cdots \exists \delta \, \forall x \, \forall y \cdots .</math>
== Intuicionista matematika ==
| |||