„Egyenletesen folytonos függvény” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
→Más jellemzések: Kapcsolat a kiterjesztési problémával |
|||
70. sor:
Feltehetjük továbbá, hogy ''X'' teljes, tehát ''S'' teljessé tétele ''X''. Ekkor az <math>f: S \rightarrow R</math> folytonos függvény egyenletesen folytonosan kiterjeszthető, ha Cauchy-folytonos, azaz a Cauchy-sorozatokat Cauchy-sorozatokra képezi. Általában ez szükséges és elégséges az ''X'' lezártjára való kiterjesztésnek.
Könnyű belátni, hogy minden egyenletesen folytonos függvény Cauchy-folytonos, így kiterjeszthető ''X''-re. Fordítva ez nem teljesül, mivel <math>f: R \rightarrow R, x
\mapsto x^2</math> nem egyenletesen folytonos, de folytonos, így mivel '''R''' teljes, ezért Cauchy-folytonos is. Általában a korlátok nélküli terekben az egyenletes folytonosság erős feltétel. Kívánatos, hogy a kiterjesztéshez enyhébb feltételeket követeljünk meg.
Legyen például ''a > 1'' valós szám. Analízis nélkül általában az <math>f: x \mapsto a^x</math> függvény csak racionális ''x'' helyekre definiálható matematikai pontossággal. Ezt akarjuk kiterjeszteni a teljes '''R'''-re.
==Általánosítások==
| |||