„Egyenletesen folytonos függvény” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
→Forrás: az angol cikk forrásai |
a linkek |
||
47. sor:
Az [[abszolút folytonos függvény]]ek egyenletesen folytonosak. Másrészt a [[Cantor-függvény]] egyenletesen folytonos, de nem abszolút folytonos.
Egy [[teljesen korlátos részhalmaz]] képe is teljesen korlátos, ha a függvény egyenletesen folytonos. Ezzel szemben a korlátos részhalmazok képe lehet nem korlátos; példa erre az identitásfüggvény, ami a [[diszkrét metrika|diszkrét metrikával]] ellátott valós számokból az euklideszi metrikájú valós számokra képez.
A [[Heine–Cantor-tétel]] szerint a [[kompakt
Ha egy valós értékű <math>f</math> függvény folytonos <math>[0, \infty)</math>-en, és létezik véges <math>\lim_{x \to \infty} f(x)</math> határértéke, akkor <math>f</math> egyenletesen folytonos. Speciálisan, <math>C_0(\mathbb{R})</math> elemei, a végtelenben eltűnő, valóson értelmezett folytonos függvények is egyenletesen folytonosak. Ez a Heine-Cantor-tétel általánosítása, mivel <math>C_c(\mathbb{R}) \subset C_0(\mathbb{R}) </math>.
55. sor:
== Más jellemzések ==
A nem standard analízisben egy valós változós, valós értékű ''f'' függvény [[mikrofolytonos függvény|mikrofolytonos]] egy ''a'' pontban, ha az ''f''*(''a'' + ''δ'') − ''f''*(''a'') különbség infinitezimális, ha ''δ'' infinitezimális. Így ''f'' folytonos egy ''A'' halmazon, ha ''f''* mikrofolytonos minden ''a'' ∈ ''A'' pontban. Az egyenletes folytonosság a mikrofolytonossággal kifejezve: nemcsak hogy ''f'' mikrofolytonos ''A'' minden pontjában, hanem annak nem standard <sup>*</sup>''A'' kiterjesztésében <sup>*</sup>R-ben. Eszerint a definíció szerint vannak hiperreális értékű függvények, amelyek megfelelnek ennek a követelménynek, de nem egyenletesen folytonosak a szokásos értelemben, és vannak egyenletesen folytonos hiperreális értékű függvények, amelyek nem felelnek meg ennek a követelménynek. Ezek azonban nem írhatók fel, mint ''f''*, ahol ''f'' valós értékű.
Az [[euklideszi tér|euklideszi terek]] közötti függvények esetén az egyenletes folytonosság definiálható sorozatokkal.{{harv|Fitzpatrick|2006}} Speciálisan, legyen ''A'' részhalmaza of '''R'''<sup>''n''</sup>-nek. Egy ''f'' : ''A'' → '''R'''<sup>''m''</sup> függvény egyenletesen folytonos, ha minden ''x''<sub>''n''</sub> és ''y''<sub>''n''</sub> sorozatpárra, hogyha
:<math>\lim_{n\to\infty} |x_n-y_n|=0\,</math>
67. sor:
Legyen ''X'' metrikus tér, ''S'' részhalmaza ''X''-nek, és <math>f: S \rightarrow R</math> egy folytonos függvény, amit egyenletesen folytonosan akarunk kiterjeszteni.
Ha ''S'' zárt ''X''-ben, akkor [[Tietze kiterjesztési tétele]] miatt a kiterjesztés sikeres. Ezért elegendő az ''S'' halmaz lezártjára kiterjeszteni. Így az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy ''S'' sűrű ''X''-ben.
Feltehetjük továbbá, hogy ''X'' teljes, tehát ''S'' teljessé tétele ''X''. Ekkor az <math>f: S \rightarrow R</math> folytonos függvény egyenletesen folytonosan kiterjeszthető, ha [[Cauchy-folytonos függvény|Cauchy-folytonos]], azaz a [[Cauchy-
Könnyű belátni, hogy minden egyenletesen folytonos függvény Cauchy-folytonos, így kiterjeszthető ''X''-re. Fordítva ez nem teljesül, mivel <math>f: R \rightarrow R, x
79. sor:
azonosság szerint ''f'' nem egyenletesen folytonos '''Q'''-n, viszont minden korlátos ''I'' intervallumon egyenletesen folytonos, így Cauchy-folytonos, tehát ''f'' egyértelműen kiterjeszthető folytonos függvénnyé ''I''-n. De mivel ez minden ''I''-re teljesül, azért ''f'' egyértelműen kiterjeszthető folytonos függvénnyé a teljes '''R'''-re.
Általában, ha <math>f: S \rightarrow R</math> folytonos, és '''R''' minden [[korlátos halmaz|korlátos részhalmazán]] egyenletesen folytonos, kiterjeszthető a teljes ''X''-re, és ha ''X'' [[lokálisan kompakt]], akkor ez meg is fordítható.
Az egyenletesen folytonos függvények kiterjesztésének alkalmazására példa az inverz [[Fourier-transzformáció]] képlete. Ezt először néhány függvényre bizonyítjuk, majd függvények [[sűrű
==Általánosítások==
===Topologikus vektorterek===
Ha az értelmezési tartomány és az értékkészlet is [[topologikus vektortér]], akkor az egyenletes folytonosság általánosítható a következőképpen:
Legyen <math>V</math> és <math>W</math> topologikus vektortér. Ekkor <math>f:V\to W</math> egyenletesen folytonos, ha <math>W</math> zérójának minden <math>B</math> környezetéhez van <math>V</math> zérójának <math>A</math> környezete, hogy <math>v_1-v_2\in A</math> implikálja, hogy <math>f(v_1)-f(v_2)\in B.</math>
A <math>f:V\to W</math> lineáris leképezések és operátorok esetén az egyenletes folytonosság ekvivalens a folytonossággal. Ezt gyakran implicit kihasználják a funkcionálanalízisben, amikor egy sűrű altérről a teljes [[Banach-
===Uniform terek===
Egy ''f'' : ''X'' → ''Y'' uniform terek közötti függvény egyenletesen folytonos, ha minden ''V'' része ''Y'' környezethez van ''U'' környezet ''X''-ben, hogy minden ''U''-beli (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>) pontpárra (''f''(''x''<sub>1</sub>), ''f''(''x''<sub>2</sub>)) ''V''-beli.
94. sor:
Eszerint az egyenletesen folytonos leképezések Cauchy-sorozatokat Cauchy-sorozatokba visznek.
Minden kompakt [[Hausdorff-
==Története==
| |||