„Cantor-féle közösrész-tétel” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Nincs szerkesztési összefoglaló |
a →Bizonyítás: Typok javítása. |
||
9. sor:
Mivel a valós számok teste arkhimédeszien rendezett, minden α indexhez vehetjük a <math>\mathrm{sup}(F_{\alpha})</math> számot. Mivel ha <math>\alpha,\beta\in I</math>, akkor van <math>\gamma\in I</math>, hogy <math>F_{\gamma}\subseteq F_{\alpha}\cap F_{\beta}</math> a feltétel alapján. Ezekre igaz, hogy <math>\mathrm{inf}(F_{\beta})\leq\mathrm{inf}(F_{\gamma})\leq\mathrm{sup}(F_{\gamma})\leq\mathrm{sup}(F_{\alpha})</math>. Ebből következik, hogy a <math>\left\{\mathrm{sup}(F_{\alpha})|\alpha\in I\right\}</math> alulról korlátos. Ekkor vehetjük a <math>\lambda=\mathrm{inf}\left(\left\{\mathrm{sup}(F_{\alpha})|\alpha\in I\right\}\right)</math> számot. Erről megmutatható, hogy eleme a halmazrendszer metszetének.
Ehhez elegendő megmutatni, hogy bármely rögzített α indexre λ benne van <math>F_{alpha}</math> lezártjában.<ref>Mivel <math>F_{\alpha}</math> zárt, ezért ez egyben azt is jelenti, hogy λ neki is eleme.</ref> Legyen <math>r\in\mathbb{R}^{+}</math>, ekkor <math>F_{\alpha}\cap B_{r}\left[\lambda-r,\lambda+r\right]\neq\emptyset</math>, ugyanis λ a legnagyobb alsó korlát, tehát <math>\lambda+r</math> már nem alsó korlát. Ekkor van olyan <math>\beta\in I</math>, hogy <math>\mathrm{sup}(F_{\beta})<\lambda+r</math>. Mivel pedig van olyan γ index, hogy <math>F_{\gamma}\subseteq F_{\alpha}\cap F_{\beta}</math>, ezért <math>\lambda-r<\lambda\leq\mathrm{sup}(F_{\gamma})</math>. Ekkor van olyan <math>\lambda'\in F_{\gamma}</math>, hogy <math>\lambda-r<\lambda'</math>, ami azt jelenti, hogy <math>\lambda-r<\lambda'\leq\mathrm{sup}(F_{\gamma})\leq\mathrm{sup}(F_{\beta}<\lambda+r</math>, és mivel <math>F_{\gamma}\subseteq F_{\alpha}\cap F_{\beta}</math>, ezért <math>\lambda'\in F_{\alpha}</math>, azaz <math>\
==Megjegyzések==
| |||