„Mechanikai munka” változatai közötti eltérés

Saját téves visszaállitásom javítva
(Visszaállítottam a lapot a 85.186.5.51 változata (mentés ideje: 2016-08-19 11:07:08, oldid: 17845005) előtti változatra a Látszer segítségével)
Címke: HTML-sortörés
(Saját téves visszaállitásom javítva)
{{nincs forrás}}
{{egyért2|a mechanikai munkáról|Munka (egyértelműsítő lap)}}
{{egyért0|A „Munka” egyéb fizikai jelentéseiről lásd: [[Elektromos munka]] és [[Termodinamikai munka]]}}
 
A '''mechanikai munka''' a fizika szűkebb területén (a [[kinetika (fizika)|kinetikában]]) értelmezett fizikai mennyiség, mely az [[Energia|energiaátadás]] egyik lehetséges formája.<ref name=":0">{{Cite book|title=Kísérleti fizika 1.|first=Péter|last=Vankó|url=http://fizipedia.bme.hu/images/e/e0/KisFiz1.pdf|format=PDF|accessdate=2016-08-19|year=2013}}</ref> Mechanikai munka végzésekor egy test [[Erő|erőhatások]] általi [[Gyorsulás|gyorsítása]] vagy lassítása történik, mely során a test energiája megváltozik. A [[Klasszikus fizika|klasszikus fizikában]] a kinetikus energiát egy adott mozgásállapot-változáshoz szükséges mechanikai munkából származtatják. Így e két mennyiség szorosan összefügg, sok jelenség értelmezésekor mindkettőt érdemes tárgyalni.
A '''mechanikai munka''' (szokásos jele: ''W'' vagy ''A''; ''work'' angol és az ''arbeit'' német ''munka'' szavakból) az az [[energia]]mennyiség, amely egy [[tömegpont|anyagi pontot]] (vagy [[merev test]]et) [[erő]] segítségével adott [[pálya (fizika)|távolságra]] elmozdít. SI mérték egysége a J (joule) .
 
Szokásos jele ''W'' az angol ''Work'' szóból, [[SI mértékegységrendszer|SI]] mértékegysége a [[Joule]].
Kiszámítása
 
== Fizikai értelmezése ==
Legegyszerűbb esetben tekintsünk egy tömegpontot és egy rá ható állandó erőt. A munkát állandó nagyságú és irányú erő esetén a következő képlettel lehet kiszámítani:
 
: <math>W = \mathbf{F}\cdot \mathbf{sr} = F \cdot s \cdot \cos \alpha</math>,
 
ahol
* '''F''' az [[erő]],
* '''r''' az elmozdulás vektora,
* '''s''' a test által megtett [[Pálya (fizika)|út]],
* ''F'' és ''s'' az erő- és az elmozdulás(vektor)elmozdulásvektor nagysága,
* <math>\alpha</math> az erő és az elmozdulás iránya által bezárt szög. (A munka nagysága e két vektor [[skaláris szorzat]]a.)
A munka tehát az erő és az elmozdulás [[skaláris szorzat]]a.
 
Változó erő munkájának kifejezésekor ez az összefüggés lokálisan igaz marad, azaz egy elemi kis időtartam alatt végzett elemi munkamennyiség nagysága a fentiekhez hasonlóan:
Változó (nagyságú és/vagy irányú) erő munkáját úgy számítjuk ki, hogy az így befutott [[Pálya (fizika)|pályát]] olyan kis szakaszokra osztjuk, amelyeken az erő változatlannak vehető, és ezeken a kis szakaszok mindegyikén számítjuk ki a munkavégzést és végül összegezzük. Pontos eredményt az erő út menti integrálása adja:
 
: <math>WdW = \int\mathbf{F}\cdot d\mathbf{sr}</math>.
 
A tér 1. és 2. pontjai közötti makroszkopikus mozgás során a makroszkopikus munkát ezen kis elemi munkamennyiségek összegzésével kapjuk a teljes útra, azaz az erő [[Vonal menti integrál|vonal menti integrálja]] adja meg az elvégzett munka mennyiségét:
Ekvivalens ezzel a következő képlet, amennyiben ismertek a fizikai mennyiségek ''t'' időtől való függése - az elmozdulást okozó <math>\mathbf{F}</math> erő adott időintervallum alatt végzett munkája:
 
: <math>W_{12} = \int_{t_1}int\limits_1^2\mathbf{t_2F}d\mathbf{Fr} = \cdotint\limits_1^2\mathbf{vF}\; \mathrmmathbf{dv}tdt</math>,.
 
ahol
* '''F''' = '''F'''(''t'') az [[erő]],
* '''v''' = '''v'''(''t'') az erő támadáspontjában lévő anyagi pont sebessége,
A munka [[skalár]]is mennyiség, értéke lehet pozitív is, negatív is.
 
Nem minden erő végez munkát. Mivel a munka az erő és az elmozdulás skalárszorzata, így a munka akkor is lehet nulla, ha mind az erő, mind az elmozdulás különbözik nullától. Könnyű belátni, hogy ez akkor történik meg, ha az erő és az elmozdulás merőleges egymásra, azaz egymásra vett vetületük zérus. Például a [[centripetális erő]] az [[körmozgás|egyenletes körmozgásban]] nem végez munkát; a mozgást végző test [[sebesség]]e állandó marad. Ezt be lehet bizonyítani a képletből: az erő [[vektor]]a merőleges az elmozdulásra, a [[skaláris szorzat]]uk nulla.
 
== Mértékegység ==
 
Az [[SI mértékegységrendszer]]ben a munka mértékegysége a [[joule]], amely szerint 1 joule egyenlő azzal a munkával, ami egy testet egy [[Newton (mértékegység)|newton]] [[erő]] által 1 [[méter]] távolságra mozdít el.
 
== EgyszerűbbEgyszerű képletekösszefüggések ==
[[Fájl:Munka.png|bélyegkép|jobbra|200px|Elemi munka]]
A legegyszerűbb esetben a test ugyanabban az irányban mozog, a ráható erő párhuzamos a mozgás irányával, akkor
 
ahol:
* ''F'' a ráhatórá ható erő
* ''s'' a test által megtett távolság
 
: <math>dW = \mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}</math>
 
Az egyenlet kétoldali [[integrálásIntegrál|integrálásából]]ából megkapjuk az általános (legelső) képletet.
 
== LevezetésMunkatétel ==
<blockquote>
'''Állítás:'''
<br/>
A mechanikai munka '''(W)''' egyenlő a testre ható '''eredő''' [[erő]] '''(F)''' által megváltoztatott [[kinetikus energia]]változás '''(ΔKE)''' nagyságával.
</blockquote>
 
'''=== Állítás:''' ===
=== Algebrával egydimenziós esetben ===
A testre ható [[erő|erők]] eredője által végzett munka megegyezik a [[kinetikus energia]] megváltozásával, azaz:
A következő bizonyításban állandó nagyságú [[erő]]hatást feltételezünk, és továbbá azt hogy '''(F)''' [[erő]] az eredő [[erő]].
 
Newton második törvényéből tudjuk, hogy ha egy testet időben állandó nagyságú '''(F)''' [[erő]]hatás ér, akkor az állandó '''(a)''' gyorsulást eredményez.
<math>W_e = \Delta E_k</math>.
 
Ez a tömegpontra értelmezett '''munkatétel'''. A továbbiakban ennek a bizonyítását tárgyaljuk két egyszerű esetben.
 
=== AlgebrávalBizonyítása egydimenziós esetbeneset ===
A következő bizonyításban állandó nagyságú [[erő]]hatást feltételezünk, és továbbá azt hogy '''(F)''' [[erő]] az eredő [[erő]]. Newton második törvényéből tudjuk, hogy ha egy testet időben állandó nagyságú '''(F)''' [[erő]]hatás ér, akkor az állandó '''(a)''' gyorsulást eredményez.
{{NumBlk|:|<math> F=ma \ \Rightarrow \ a = \frac{F}{m} </math>|1}}
 
</math>|5}}
 
Tehát a [[Mozgási energia|kinetikus energia]] változása egyenlő a mechanikai munkával.
{{NumBlk|:|<math>
\Delta KEE_k = KE_2E_{k,2} - KE_1E_{k,1} = W
</math>|6}}
 
=== Algebrával kétdimenziósKétdimenziós esetben ===
Ez az eset csak nem sokban különbözik az egydimenziós esettől, csak szemléltetésként szeretném megmutatni, miként általánosítható az egydimenziós eset, kettő vagy akár több dimenzióra. Mivel két dimenzióval tárgyalunk, a [[vektor]]ok –mint '''(v)''' sebesség– két komponensel '''(x,y)''' rendelkeznek. Két dimenzió esetén a [[kinetikus energia]] a következő módon határozható meg:
{{NumBlk|:|<math>
KEE_k = \frac{1}{2}m \vecmathbf{v}^2} = \frac{1}{2}m (v_x^2 + v_y^2)
</math>|1}}
 
Keressük meg azt a formulát ami megadja a [[kinetikus energia]] változásának ütemét. Ez pedig nem más mint a kinetikus energia idő szerinti első deriváltja.
{{NumBlk|:|<math>
\frac{\Delta KEE_k}{ \Delta t } = \frac{m}{2} \left ( 2v_x \frac{dv_x}{dt} + 2v_y \frac{dv_y}{dt} \right )
</math>|2}}
 
Átalakítva a képletet a következő alakot kapjuk:
{{NumBlk|:|<math>
\frac{\Delta KEE_k}{ \Delta t } = \left ( m \frac{dv_x}{dt} \right ) v_x + \left ( m \frac{dv_y}{dt} \right ) v_y
</math>|3}}
 
Mivel <math> \frac{dv_x}{dt} </math> nem más mint a [[gyorsulás]]. A [[kinetikus energia]] változásának üteme tehát egyenlő az [[erő]] és a [[sebesség]] szorzatával, ami nem más mint a mechanikai [[teljesítmény]].
{{NumBlk|:|<math>
\frac{\Delta KEE_k}{ \Delta t } = F_x v_x + F_y v_y
</math>|4}}
 
Mivel '''(v)''' [[sebesség]] nem más mint a pozíció idő szerinti első [[derivált]]ja azaz: <math>v_x = \frac{dx}{dt} </math> Megszorozva most mindkét oldalt az idővel, megkapjuk a megtett távolságot.
{{NumBlk|:|<math>
\Delta KEE_k = F_x dx + F_y dy
</math>|5}}
 
Tehát a [[kinetikus energia]] változása egyenlő az eredő [[erő]] által végzett munkával
{{NumBlk|:|<math>
\Delta KEE_k = \Delta W
A fenti levezetésben külön feltüntettem a [[sebesség]][[vektor]]ok komponenseit mert úgy vélem így érthetőbb a levezetés. </math>|6}}Ha két [[vektor]] '''(x)''' komponenseit megszorozzuk, és összeadjuk a [[vektor]]ok '''(y)''' irányú komponenseinek összegével az nem más mint a két [[vektor]] skaláris szorzata amit <math>\vec{A} \cdot \vec{B}</math> vel szoktak jelölni.
</math>|6}}
 
----
A fenti levezetésben külön feltüntettem a [[sebesség]][[vektor]]ok komponenseit mert úgy vélem így érthetőbb a levezetés. Ha két [[vektor]] '''(x)''' komponenseit megszorozzuk, és összeadjuk a [[vektor]]ok '''(y)''' irányú komponenseinek összegével az nem más mint a két [[vektor]] skaláris szorzata amit <math>\vec{A} \cdot \vec{B}</math> vel szoktak jelölni.
 
<math>
 
ahol <math>\vec{r}</math> az elmozdulás [[vektor]]a.
 
== Egyéb munkaformák ==
A nem mechanikus munka formái, mint például az [[elektromos munka]], ennek az elvnek egy különleges esetét képezik: például az elektromosság esetében a munkát az elektromos tér végzi el a közegen áthaladó [[elektromos töltés|elektromosan töltött]] részecskéken - vagy az elektromos tér ellenében kell elvégezni a munkát más erőkkel a töltött részecskéken. (Továbbiakért lásd: [[munka (egyértelműsítő lap)|munka]].)
 
== További információk ==
* {{CitLib|isbn=|szerző=Budó Ágoston|cím=Kísérleti Fizika I.|alcím=Mechanika, hangtan, hőtan|hely=Budapest|kiadás=Negyedik kiadás|kiadó=Tankönyvkiadó|év=1970}}
* [http://www.sulinet.hu/tovabbtan/felveteli/ttkuj/fizika/munka/munka.html Sulinet: Munka]
* [http://fizikaweb.uni-pannon.hu/fizika_content/Oktatas/Fizika_1_Mernoki_kar/Fizika_I-5_Munka_es_energia.ppt Pannon Egyetem Mérnöki Kar (Veszprém), Fizika I., 5. Munka és energia]
* 3. fejezet: Mechanikai munka in: [http://www.didactic.ro/files/4/mechanika.doc Kidolgozott fizikatételek az érettségire]
 
== Jegyzetek ==
{{Reflist}}
{{Portál|Fizika}}
[[Kategória:Energia]]