„Pólus (komplex analízis)” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
kategóüria |
→Definíció: Ekvivalens jellemzések |
||
6. sor:
Néhány szerző megengedi, hogy a pólus rendje nulla legyen, ami vagy reguláris pont, vagy [[megszüntethető szingularitás]]. Azonban megszokottabb, hogy a pólus rendjét pozitívnak értelmezzék.
==Ekvivalens jellemzések==
A definícióból levezethetők ekvivalens jellemzések:
Ha a ''p'' pólus rendje ''n'', akkor szükséges, hogy ''g''(''p'') ≠ 0 legyen a fenti kifejezésben. Így elvégezhetjük az
:<math>f(z) = \frac{1}{h(z)}</math>
helyettesítést, ahol ''h'' holomorf ''p'' egy nyitott környezetében, és ''n'' rendű nullhelye van ''p''-ben. Ezért mondhatjuk, hogy a pólusok a nullhelyek reciprokai.
Továbbá, mivel ''g'' holomorf, azért ''f'' kifejezhető, mint
:<math>f(z) = \frac{a_{-n}}{ (z - p)^n } + \cdots + \frac{a_{-1}}{ (z - p) } + \sum_{k\, \geq \,0} a_k (z - p)^k.</math>
Ez [[Laurent-sor]], aminek főrésze véges. Az <math>\scriptstyle \sum_{k\,\ge\,0} a_k(z\, - \,p)^k</math> holomorf függvény az ''f'' reguláris része. Így ''p''-nek ''n''-edrendű pólusa ott van, ahol a Laurent-sor −''n''-nél kisebb fokú tagjainak együtthatója nulla, és a −''n'' fokúé nem.
[[Kategória: Komplex analízis]]
| |||