„Asszociativitás” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
normális képletek |
|||
1. sor:
{{nincs forrás}}
A [[matematika|matematikában]] az '''asszociativitás'''
<math display="block">(x * y) * z = x * (y * z)</math>
Ez a függvény- (vagy [[operátor#A prefix írásmód|prefix]]-) jelöléssel így írható:
<
Például a [[természetes számok|természetes]], [[valós számok|valós]] vagy akár a [[komplex számok|komplex]] számokon értelmezett szokásos összeadás és szorzás
Azokat az <math>(A, *) </math> [[matematikai struktúra|matematikai struktúrákat]], melyek <math>* </math> művelete asszociatív, [[félcsoport]]oknak nevezzük.
== Az általánosított asszociativitás tétele ==
Az asszociativitás fenti követelménye valójában csak speciális esete a következő tulajdonságnak:
** Az A halmazon értelmezett * kétváltozós művelet asszociatív;▼
** Tetszőleges n db. (nem felt. különböző) a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, …, a<sub>n</sub>∈A elemekre az a<sub>1</sub>*a<sub>2</sub>*…*a<sub>n</sub> :=c∈A műveletsorozat bármilyen [[szabályos zárójelezés]]sel ugyanazt a rögzített c elemet adja; itt n∈'''[[Természetes számok|N]]'''<sup>+</sup> értelemszerűen nemnegatív [[természetes számok]].<ref>E tétel az n≥3 kikötés nélkül is értelmes, és – a lehetséges nem-triviális szabályos zárójelezések kisszámú (1) volta miatt n≤2 esetében – automatikusan igaz.</ref>▼
** Legyenek A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>, …, A<sub>k</sub> tetszőleges A-beli [[véges sorozat]]ok, ekkor Π(A<sub>1</sub>∨A<sub>2</sub>∨…∨A<sub>k</sub>) = Π(A<sub>1</sub>) · Π(A<sub>2</sub>) · … · Π(A<sub>k</sub>), ahol Π a sorozatok A-beli [[produktum]]át (elemeinek sorrendben való összeszorzását); míg ∨ az adott sorrendben való "egyesítésüket" jelöli.▼
[[neutrális elem|Egységelemes]] félcsoportban megengedhetjük azt is, hogy a fent említett sorozatok üresek legyenek, azaz nulla db. taguk legyen.▼
▲
▲
▲[[neutrális elem|Egységelemes]] félcsoportban megengedhetjük azt is, hogy a fent említett sorozatok üresek legyenek, azaz nulla
(A fenti állítások igazolása értelemszerűen végzett [[teljes indukció]]val történhet.)
== Asszociativitás és Cayley-tábla: a Light-teszt ==
Egy művelet asszociativitása a [[művelettábla|művelettáblájáról]] (Cayley-tábla) általában nem olvasható le olyan könnyen, mint például a kommutativitás. Az asszociativitás megállapítására át kell alakítani a táblázatot, erre alkalmas az ún. [[Light-féle eljárás]].
== Megjegyzés a halmazműveletek asszociativitásáról ==
Bár nincs szakkönyv, amely ne tekintené-nevezné a [[halmazművelet]]eket asszociatívnak, hiszen formálisan érvényes
== Lásd még ==▼
▲Bár nincs szakkönyv, amely ne tekintené-nevezné a [[halmazművelet]]eket asszociatívnak, hiszen formálisan érvényes mind (A∪B)∪C = A∪(B∪C) (az [[unió (halmazelmélet)|unió]] „asszociativitása” és (A∩B)∩C = A∩(B∩C) is (a [[metszet]]képzés „asszociativitása”), meg kell jegyeznünk, hogy az asszociativitás fogalma csak [[művelet]]ekre van definiálva, a halmazműveletek pedig nem szigorú értelemben vett matematikai műveletek, hiszen műveletet csak valamilyen alaphalmaz felett értelmezhetünk (az összes halmaz halmazáról viszont, aminek a halmazműveletek alaphalmazának kellene lennie, ellentmondásossága miatt nem beszélhetünk. Azok a szakkönyvek, amelyek a halmazműveleteket valamely U halmaz [[hatványhalmaz]]ának elemeire, azaz egy U részhalmazaira szorítkozva definiálják, matematikai szempontból teljesern kifogástalanul járnak el, és ez esetben valóban beszélhetünk a halmazműveletek asszociativitásáról.
▲== Lásd még ==
* [[Kommutativitás]]
* [[Disztributivitás]]
|