„Exponenciális függvény” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a Bot: External links című szakasz |
|||
80. sor:
:<math>\,e^x = {1 \over 0!} + x \, \left( {1 \over 1!} + x \, \left( {1 \over 2!} + x \, \left( {1 \over 3!} + \cdots \right)\right)\right)</math>
:<math>\,= 1 + {x \over 1} \left(1 + {x \over 2} \left(1 + {x \over 3} \left(1 + \cdots \right)\right)\right)</math>
:A fenti kifejezés az exponenciális, <math>e^x</math> , függvény Maclaurin-sora, a maradéktag pedig:
:<math>R_n(x)</math> = <math>\frac{e^{\Theta x}}{(n + 1)!}</math><math> x^{n + 1}</math> (0 < θ < 1) .
:{|
|x
|<math>=</math> z + f
|-
|<math>\,e^x\,</math>
97 ⟶ 101 sor:
:<math>\,f</math> mindig kisebb, mint 1 és <math>\,z</math> hozzáadható <math>\,x</math>-hez.
Az e<sup>z</sup> konstans pedig úgy számítható ki, hogy e-t önmagával szorozzuk z-szer, ha <math>z \ge 0</math> , vagy <math>\frac{1}{e}</math>- et szorozzuk önmagával z-szer, ha z < 0 .
Mivel f < 1, a sorozat gyorsan konvergál és a maradéktag<blockquote><math>0 \le R_n(g) < \frac{3}{(n + 1)!}q^{n+1}</math> .</blockquote>A tagok rekurrenciás kapcsolata:<blockquote><math>T_0 = u_0 = 1</math> , <math>u_{n+1} = u_n\cdot\frac{x}{n + 1}</math> .</blockquote>Az exponenciális függvényt számító algoritmus: <syntaxhighlight lang="ps1" line="1">
function TaylorExp( in: x, ε out: T )
u ← 1
n ← 0
T ← 1
repeat
u ← u*(x/n+1)
T ← T + u
n ← n + 1
until |u| < ε
return T
end function
</syntaxhighlight>'''Példa''':
Alkalmazásként határozzuk meg <math>\sqrt{e}</math>-t <math>10^{-7}</math> hibán belül. Ez esetben x = 1/2 tehát a rekurrenciás képlet:<blockquote><math>u_0 = 0 </math> , <math>u_{n+1} = u_n\frac{1}{2(n + 1)} </math> , k=(1, 2, . . .)</blockquote>
{| class="wikitable" href="komplex számok"
!
!u<sub>n</sub>
!T<sub>n</sub>
|-
|0
|1
|1
|-
|1
|0.5
|1.5
|-
|2
|0.125
|1.625
|-
|3
|0.0208333333333
|1.64583333333
|-
|4
|0.00260416666667
|1.6484375
|-
|5
|0.000260416666667
|1.64849791667
|-
|6
|2.17013888889e-05
|1.64871961806
|-
|7
|1.55009920635e-06
|1.64872116815
|-
|8
|9.68812003968e-08
|1.65872126504
|}
A pontos érték 1.6487212707...
== Kapcsolódó szócikkek ==
| |||