„Skatulyaelv” változatai közötti eltérés

a
nincs szerkesztési összefoglaló
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
(→‎Softball: "...lesz, van aki hoppon..." helyett "...lesz, aki hoppon...")
aNincs szerkesztési összefoglaló
 
Elsőre ez nem nyilvánvaló, mert hogyan találjunk adott ε > 0-hoz olyan ''n'', ''m'' egész számokat, amikre |nα − m| < ε? A feladat azonban megoldható egy ''M'' > 1/ε választásával. A skatulyaelv szerint van n<sub>1</sub>, n<sub>2</sub>∈ {1, 2, ..., M + 1}, hogy n<sub>1</sub>α és n<sub>2</sub>α törtrésze ugyanabba az 1/''M'' hosszú részintervallumba esik.
Ez azt jelenti, hogy n<sub>1</sub>α ∈ (p + k/M, p + (k + 1)/M), és n<sub>2</sub>α ∈ (q + k/M, q + (k + 1)/M) valami p, q egészekre és k eleme {0, 1, ..., M − 1}-re. Innen könnyű látni, hogy (n<sub>1</sub>-n<sub>2</sub>)α benne van (q − p − 1/M, q − p + 1/M)-ben, ahonnan következik, hogy {nα} < 1/M < ε. Ebből látszik, hogy 0 [[torlódási pont]]ja az {nα} sorozatnak.
A többi p torlódási pontra: válasszunk egy n egészet, hogy {nα} < 1/M < ε legyen; ekkor, ha p ∈ (0, 1/M], akkor készen vagyunk. Különben p benne vagy egy (j/M, (j + 1)/M] intervallumban, és ha k választása k = sup{r ∈ N : r{nα} < j/M}, akkor kapjuk, hogy |[(k + 1)nα] − p| < 1/M < ε.
 
 
Ez valóban a skatulyaelv általánosítása: tekintsük ugyanis a galambok egy elrendezését, és válasszunk egyenletes valószínűséggel egy dúcot. Az ''X'' valószínűségi változó legyen az ebben a dúcban levő galambok száma. ''X'' várható értéke ''n''/''m'', ami egynél nagyobb, ha több galamb van, mint dúc. Kell, hogy ''X'' értéke néha egynél nagyobb legyen; ez az egész értékűség miatt azt jelenti, hogy ilyenkor legalább kettő.
 
== Források ==
* Grimaldi, Ralph P. ''Discrete and Combinatorial Mathematics: An Applied Introduction''. 4th edn. 1998. {{ISBN|0-201-19912-2}}. pp.&nbsp;244–248.