„Fraktál” változatai közötti eltérés

[[Fájl:CantorEscalier.svg|thumb|250px|jobbra|A [[Cantor–Lebesgue-görbe]] - más néven Cantor-függvény, avagy „'''az ördög lépcsője'''” - példa matematikailag „észbontóan” viselkedő fraktálalakzatra.<ref group="mj">Egy képlettel való előállítását ld. pl. [http://compalg.inf.elte.hu/~czirbusz/teaching/dm/FractalExamplesShort.pdf itt, 9.dia].</ref> A topológiai szempontból egydimenziós görbe, bár pusztán relatíve „hosszú” konstans részekből áll, meghatározott részein mégis „végtelenül tüskés”, bár nem annyira, hogy térkitöltő jelleggel bírjon, a görbe „tradicionális” és [[Hausdorff-dimenzió]]ja is 1. Ami még csak a folytonosság iránt rajongó matematikusok szépérzékét sérti, az a tulajdonsága, hogy bár elemi módon igazolhatóan minden pontban [[folytonos függvény|folytonos]], az említett „tüskés” részek végtelen sok helyén fellelhetőek, azaz végtelen sok helyen nem-differenciálható. Ennél egy fokkal meglepőbb, hogy ezek a tüskék, bár végtelen sokan vannak (a nem-differenciálható értékek ősképei pontosan az x-tengelyre eső egydimenziós [[Cantor-halmaz]] pontjai), mégsem bírnak kitenni egy pozitív hosszúságú szakaszt, összhosszuk 0, a konstans részek összhosszúsága így 1.<ref group="mj">A lépcső konstrukciója miatt a konstans részek összhossza <math>\frac{1}{3}+2 \cdot \frac{1}{9} + 4 \cdot \frac{1}{27} + 8 \cdot \frac{1}{81} + ... </math> (a végtelenségig) <math>=</math> <math> \frac{1}{3} \cdot \left( 1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + \frac{8}{27} + ... \right) </math> <math>=</math> <math> \frac{1}{3} \cdot \frac{ \left( \frac{2}{3} \right) ^{\infty} -1 }{\frac{2}{3}-1} </math> <math> \to </math> <math> \frac{1}{3} \cdot \frac{0-1}{- \frac{1}{3}} </math> <math>=</math> <math> \frac{1}{3} \cdot 3 </math> <math>=</math> <math>1</math> (ld. [[mértani sor]] összegzése).</ref> Ez azt jelenti, hogy az „ördög lépcsőjén” fel lehet mászni az origóból egységnyi magasságba úgy, hogy a lépcső mindössze 0 összhosszúságú részen bír emelkedő jelleggel, ráadásul teljesen folytonos mozgással (tehát „ugrani” sehol sem kell). A fraktálok felfedezése előtt nehezen volt hihető, hogy egy 0 mértékű részen növekvő görbe bírhat akármilyen emelkedéssel is úgy, hogy ne legyenek rajta felfelé ugrások (szakadások) - a Cantor-görbe azonban mégsem „ugrik”, mindenütt folytonos.<ref group="mj">Ezzel kapcsolatos egy másik, némileg a [[Banach-Tarski-paradoxon]]ra hasonlító érdekesség is: tekintve, hogy a görbe véges hosszúságú konstans szakaszokból áll, melyek összhosszúsága 1, a szemlélője kísértést érezhet rá, hogy a görbe hosszát 1-nek mondja, azon a szemléletes alapon, hogy minden konstans részt az y-tengellyel párhuzamosan az x-tengelyre tolva, a darabok uniója a 0 dimenziós [[Cantor-halmaz]] komplementere, azaz az unió 1-0=1 összhosszúságú. Azaz: „A) a görbe vetülete 1 hosszú, és B) a vetületet megfelelően feldarabolva, és minden darabot mérettartóan, [[eltolás]]sal a kellő magasságba mozgatva, azokból összeállítható a kérdéses görbe; C) Bármilyen vonal- ill. síkalakzatot akárhogy feldarabolva és a darabokat egybevágóságokkal mozgatva, amennyiben egy új alakzat keletkezik, a kapott alakzat hossza, ill. területe meg kell, hogy egyezzen az eredetivel; D) a Cantor-görbe hossza így megegyezik vetületének hosszával, ami 1. [[Q.E.D.]].” Sajnos, a C) megállapítás hibás, a Cantor-görbe [[rektifikálható]], azaz mérhető ívhosszú ugyan, de hossza pontosan 2. A Banach-Tarski-paradoxonhoz hasonlóan, a gondolatmenetben lévő hibát az okozza, hogy a görbe végtelen sok darabra lett szétvágva, így a véges átdarabolásokra vonatkozó intuíciók tévedéshez vezethetnek.</ref> </small>]]