„Mátrix (matematika)” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Vektor-, mátrix- és tenzoranalízis kategória eltávolítva (a HotCattel): duplikátum, a Mátrixok alkategóriája ennek |
3 forrás archiválása és 0 megjelölése halott linkként. #IABot (v2.0beta10) |
||
443. sor:
=== Lineáris leképezések ===
Egy adott gyűrű, <math>K</math> fölött definiált mátrixok kapcsolódnak a gyűrű fölötti modulusokhoz. Ha <math>A \in K^{m\times n}</math>, akkor a <math>K^n</math> értelmezési tartomány és a <math>K^m</math> képtér (értékkészlet) egy rögzített bázisában az <math>A</math> mátrix egy lineáris leképezést ábrázol, ahol is az <math>u\in K^n</math> bázisát a képtér bázisának a sorok szerinti lineáris kombinációjába viszi. Azaz, ha az ábrázolt lineáris leképezés <math>\phi</math>, akkor a <math>j</math>-edik oszlopban a <math>\phi (b_j)</math> vektor képének koordinátái állnak. A leképezés az értelmezési tartomány egy tetszőleges <math>x</math> vektorát az <math>Ax</math> vektorba viszi.<ref>{{Cite web |url=http://www.math.klte.hu/~kozma/linlek-f.pdf# |title=Archivált másolat |accessdate=2016-07-21 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20121119221923/http://www.math.klte.hu/~kozma/linlek-f.pdf# |archivedate=2012-11-19 }}</ref>
Megfordítva, minden <math>\phi \colon K^n \to K^m</math> lineáris leképezés ábrázolható <math>A \in K^{m\times n}</math> mátrixszal a fenti bekezdés megfordításaként. Tehát, ha nincs eleve adott bázis a mag- és a képtérben, akkor először választunk egy bázist, majd megnézzük az értelmezési tartomány bázisának képvektorait a képtér bázisában. Ezt az összefüggést kanonikus izomorfizmusnak nevezzük a lineáris leképezések és a mátrixok között:
492. sor:
Test helyett vehető [[ferdetest]] is. Így minden korlátos lineáris operátor felfogható végtelenszer végtelen mátrixként, ami extrém [[ritka mátrix|ritka]], ugyanis a végtelen sok eleme között csak véges sok különbözik nullától. A lineáris transzformációk szorzása ismét megfelel a mátrixszorzásnak.
A nem korlátos lineáris operátorok nem folytonosak, és legfeljebb egy sűrű altérre terjeszthetők ki. Ilyenek például függvénytereken a differenciáloperátorok. Jellemzésükben fontos szerephez jut az értelmezési tartomány. Sok tulajdonságot csak sűrűn definált operátorokra tudunk bizonyítani.<ref>{{Cite web |url=http://www.cs.elte.hu/~karatson/nfa.pdf# |title=Archivált másolat |accessdate=2016-07-21 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20120916174740/http://www.cs.elte.hu/~karatson/nfa.pdf# |archivedate=2012-09-16 }}</ref>
A [[funkcionálanalízis]]ben [[topologikus vektortér|topologikus vektortereket]] vizsgálnak, így lehet beszélni [[határérték]]ről, és képezhetők végtelen [[sorozat (matematika)|sorozatok]] összegei is. Így vizsgálhatók olyan végtelen mátrixok is, amelyek végtelen sok nullától különböző értéket tartalmaznak, és akár egész sorok és oszlopok is teltek lehetnek. Itt bázison is valami mást értenek.
533. sor:
* Források
** [http://www.hik.hu/tankonyvtar/site/books/b128/ssec-1-3-9.html Online lexikon cikkei a mátrixról]
** [https://web.archive.org/web/20070209194800/http://www.ualr.edu/lasmoller/matrices.html Mátrix neve és igen rövid összefoglaló (angolul)],
** [http://www.xycoon.com/matrix_algebra.htm Bevezetés a mátrixalgebrába (angolul)]
** [http://www.sosmath.com/matrix/matrix.html Mátrixalgebra]
| |||