„Halmazcsalád” változatai közötti eltérés

Legyen ''E'' egy nemüres halmaz; és jelölje ''P𝒫(E)'' az ''E'' halmaz [[hatványhalmaz]]át, azaz azt a halmazt, amely ''E'' részhalmazaiból áll. Akkor az ''E'' alaphalmazon értelmezett halmazcsaládok ''P𝒫(E)'' részhalmazai; ''P𝒫(P𝒫(E))'' elemei.

*Ha a síkot pontok ''E'' halmazának fogjuk föl, akkor a különböző síkbeli alakzatok – ponthalmazok – a sík részhalmazai, ''P𝒫(E)'' elemei. Így, a síkon, mint alaphalmazon halmazcsaládot alkot az egyenesek halmaza, a körök halmaza, a háromszögek halmaza vagy például az egységnyi területű síkidomok halmaza.

A halmazcsaládok ekvivalenciája nyilvánvalóan [[reflexív reláció]]: minden ''𝒜'' halmazrendszerre ''𝒜''<''𝒜'', és így ''𝒜''~''𝒜''. Ha ''𝒜''~''ℬ'', akkor ''𝒜''<''ℬ'' és ''ℬ''<''𝒜'', tehát ''ℬ''~''𝒜'', vagyis a halmazcsaládok ekvivalenciája [[szimmetrikus reláció]] is. Végül, ha ''𝒜''~''ℬ'' és ''ℬ''~''C𝒞'', akkor ''𝒜''<''ℬ''<''C𝒞'', ezért minden ''C𝒞''-beli halmaznak részrésze egy ''ℬ''-beli halmaz, annak pedig része egy ''𝒜''-beli, ezért minden ''C𝒞''-beli halmaznak része egy ''𝒜''-beli halmaz, vagyis ''𝒜''<''C𝒞''. Hasonló gondolatmenettel ''𝒜''>''C𝒞'', tehát ''𝒜''~''C𝒞'': a halmazrendszerek ekvivalenciája tehát [[tranzitív reláció]]. Ezzel beláttuk, hogy a halmazrendszerek ekvivalenciája [[ekvivalenciareláció]] ''P𝒫(P𝒫(E))''-n, amely így [[ekvivalenciaosztály]]okra bomlik.

Legyen ''𝒜''∈''P𝒫(P𝒫(E))'' halmazcsalád. Azt mondjuk, hogy ''𝒜'' ''felszálló halmazcsalád'', ''felszálló halmazrendszer'', vagy röviden ''felszálló rendszer'', ha ''U''∈''𝒜'' esetén minden olyan ''V''⊆''E'' is ''𝒜''-hoz tartozik, amelyre ''U''⊆''V''. A felszálló rendszerek tehát minden elemükkel együtt az azt (részhalmazként) tartalmazó összes halmazt is tartalmazzák. Felszálló halmazrendszert alkotnak például a valós számok részhalmazai közül azok, amelyek tartalmazzák a 0-t. Felszálló halmazrendszert alkotnak a természetes számok végtelen részhalmazai is.