|
: <math>\frac{c}{d} \; := \; \frac{a\div e}{b\div e}</math>
ahol
A racionális számok tört alakja egy vét y. Ha azonban több számmal kell összeadást, kivonást vagy ö{{Portál|Matematika}}
: <math>e := \sgn(b) \cdot \operatorname{abs}\bigl(\operatorname{lnko}(a,b)\bigr) </math>,
<math>\operatorname{lnko}(a,b) </math> az <math>a, b</math> egész számok [[legnagyobb közös osztó]]ja, ami kiszámítható például [[euklideszi algoritmus]]sal. Ha <math>n</math> egész szám, akkor tovább nem egyszerűsíthető tört alakja <math>\tfrac n1.</math>
==Rendezés==
A racionális számok rendezése megadható úgy, mint:
:<math>\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \qquad :\Longleftrightarrow \qquad a\sgn(b)\operatorname{abs}(d) < \operatorname{abs}(b)c\sgn(d)</math>
ahol <math><</math> az egész számok szokásos rendezése, <math>\sgn</math> a [[szignumfüggvény]] és <math>\operatorname{abs}</math> [[abszolútérték]]. A bővítés és az egyszerűsítés nincs hatással az összehasonlításra. Ez a rendezés az egész számok rendezésének kiterjesztése, <math>b=\sgn(b)=\operatorname{abs}(b)=d=\sgn(d)=\operatorname{abs}(d)=1</math>.
Ha két pár ekvivalens, akkor sem <math>\frac{a}{b} < \frac{c}{d}</math> sem <math>\frac{c}{d} < \frac{a}{b}</math> nem teljesül.
<br />
== Történetük ==
=== Egyiptomi törtek ===
Minden pozitív racionális szám felírható véges sok különböző pozitív egész reciprokának összegeként. Például:
: <math>\frac{5}{7} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{21} = \frac{1}{2} + \frac{1}{7} + \frac{1}{14} </math>
Sőt, minden pozitív racionális számnak végtelen sok ilyen formájú, különböző felírása lehetséges. Ezt az alakot ''egyiptomi tört''nek is nevezzük, mivel már az ókori Egyiptomban is használták, akik egyébként a [[diadikus tört]]eket is a maitól eltérő alakban írták le.
== Formális definíció ==
A racionális számok precízen [[egész számok]] [[rendezett pár|rendezett párja]]: <math>\left(a, b\right)</math> ahol ''b'' nem nulla. Az összeadást és szorzást ezeken a következőképp definiáljuk:
: <math>\left(a, b\right) + \left(c, d\right) = \left(ad + bc, bd\right)</math>
: <math>\left(a, b\right) \times \left(c, d\right) = \left(ac, bd\right)</math>
<br />
<br />
==Osztó algoritmusok==
A racionális számok tört alakja egy el nem végzett osztás formájában ábrázolja a számot. A tiszta matematika számára általában elég is ez az ábrázolás, legfeljebb tovább nem egyszerűsíthető alakra hozásra van igény. Ha azonban több számmal kell összeadást, kivonást vagy összehasonlítást végezni, akkor érdemes a számokat közös nevezőre hozni. Ezekhez a műveletekhez lehet a számokat vegyes tört alakban ábrázolni, és csak a törtrészt közös nevezőre hozni. A vegyes tört alakra hozás a maradékos osztás elvégzésének felel meg.
Az osztást akkor tekintik elvégzettnek, ha egy helyi értékes számrendszerben meghatározták a szám (egy alakjának) összes számjegyét. Ehhez az osztást elég egy periódusig vinni, hiszen a racionális számok végtelen szakaszos tizedestörtek. Ehhez az algoritmusok három csoportját alkották meg:
*Írásbeli algoritmusok
*Számítógépes algoritmusok:
:*Rögzített hosszúságú számokra
:*Tetszőleges hosszúságú számokra.
Az utóbbira példák:
*SRT-osztás
* Goldschmidt-osztás
* Newton-Raphson-osztás
Az utóbbi két algoritmus a nevező reciprokát veszi, amit megszoroz a számlálóval. Ezeket az eljárásokat rögzített hosszúságú számokra is használják.
==Tizedestört alak==
A valós számoknak van tizedestört alakjuk. A racionális számok ezek közül a szakaszos tizedestörtek.
Az irracionális számok tizedestört alakja nem periodikus.
A véges tizedestörtek pontosan azok, ahol a tovább nem egyszerűsíthető tört vagy áltört alak nevezője osztója az alap valamelyik hatványának. Ekvivalensen, a nevező prímtényezői az alap prímtényezői közül kerülnek ki. A véges tizedestörtek is szakaszos tizedestörtek; a véges rész az előszakasz, a periódus nulla számjegyből áll. A tizedestört alak nem mindig egyértelmű; a véges tizedestörtként írható racionális számoknak van egy másik tizedestört alakjuk is, ami megkapható a véges tizedestört alak utolsó számjegyét eggyel csökkentve, utána a szakaszt csupa kilencessel kitöltve. Lásd: [[0,999…]]
Hasonlósak érvényesek más, <math>g\in \Z \setminus \{-1,0,1\}</math> egész alapú számrendszerben, ahol a kilencesek szerepét az alapnál eggyel kisebb számjegy veszi át. A periódust vagy felülvonással, vagy két ponttal jelzik.
Példák:
:{|
| <math>\tfrac 13</math> || <math>= 0{,}\overline{3}</math> || <math>= 0{,}33333 \dotso</math> || <math>= \left[0{,}\overline{01}\right]_2</math>
|-
| <math>\tfrac 97</math> || <math>= 1{,}\overline{285714}</math> || <math>= 1{,}285714 \ 285714 \dotso</math> || <math>= \left[1{,}\overline{010}\right]_2</math>
|-
| <math>\tfrac 15</math> || <math>= 0{,}2\overline{0} = 0{,}1\overline{9}</math> || <math>= 0{,}20000 \dotso = 0{,}19999 \dotso </math> || <math>= \left[0{,}\overline{0011}\right]_2</math>
|-
| <math>\tfrac 12</math> || <math>= 0{,}5\overline{0} = 0{,}4\overline{9}</math> || <math>= 0{,}50000 \dotso = 0{,}49999 \dotso </math> || <math>= \left[0{,}1\overline{0}\right]_2 = \left[0{,}0\overline{1}\right]_2</math>
|-
| <math>1 = \tfrac 11</math> || <math>= 1{,}\overline{0} = 0{,}\overline{9}</math> || <math>= 1{,}00000 \dotso = 0{,}99999 \dotso</math> || <math>= \left[1{,}\overline{0}\right]_2 = \left[0{,}\overline{1}\right]_2</math>
|}
Az [[Euler–Fermat-tétel]] szerint, ha a nevező <math>n\in \N_{>1}</math>, és hozzá az alap <math>g\in \N</math> relatív prím, akkor
:<math>g^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n</math>
ahol <math>\varphi</math> az [[Euler-függvény|Euler-féle phi-függvény]]. Az <math>1/n</math> szakaszának hossza megegyezik az <math>l:=\operatorname{ord}_n(g)</math> [[csoportelem rendje|renddel]], ahol <math>\left[g\right]</math> [[maradékosztály]] a <math>\Z/n\Z</math> modulo <math>n</math> [[maradékosztálygyűrű]]jének <math>(\Z/n\Z)^\times</math> [[prím maradékosztály]]ában. [[Lagrange tétele]] szerint <math>l</math> osztója a [[csoport (algebra)|csoport]] <math>\varphi(n)</math> rendjének. Az
:<math>x := (g^l-1)/n </math>
pozitív egész <math>< g^l </math>, és <math>1/n</math> <math>g</math> alapú bázisba fejtve kapott jegyei a <math>g</math>-adikus ábrázolásban ugyanezek a jegyek köszönnek vissza:
:<math>x \cdot \sum_{i=1}^{\infty} \left( g^l \right)^{-i} = \frac{x}{ g^l -1} = \frac1n</math>
Például a fenti táblázatban az 1/3 periódushossza a tízes alapú bázisban <math>\operatorname{ord}_3(10)=1</math>, és jegyeinek sorozata <math>x=\overline{3}</math>. Kettes alapú számrendszerben a szakasz hossza <math>\operatorname{ord}_3(2)=2</math>, és a jegyek sorozata <math>x=\overline{01}</math>.
Egy adott <math>n>1</math> nevező esetén a szakasz hossza pontosan akkor <math>l:=\operatorname{ord}_n(g)=\varphi(n)</math>, ha <math>g</math> [[primitív gyök]] modulo <math>n</math>. Primitív gyök akkor van, ha az <math>(\Z/n\Z)^\times</math> prím maradékosztálycsoport [[ciklikus csoport|ciklikus]], azaz ha <math>n \in \{2, 4, p^r, 2p^r \; \; | \; \; 2 < p \in \mathbb{P}; \; r \in \mathbb{N}\} .</math> Különben a periódus hossza <math>\varphi(n) </math> valódi osztója.
Az alábbi táblázat <math>g = 2, 3, 5</math> és <math>10</math> esetét mutatva azt a benyomást kelti, hogy a maximális szakaszhossz gyakori. Például a <math>n = 7, 17, 19, 23, 29 </math> prímszámok reciprokainak szakaszhossza <math>\varphi(n) = n-1 = 6, 16, 18, 22, 28 </math>. A <math>n = 12, 15, 21, 33, 35</math> összetett számok esetén a maximális hossz <math>\operatorname{ord}_n(g)\le\varphi(n)/2 </math>. A <math>\varphi(n) </math> hosszú periódusok ki vannak emelve. A legrosszabb eset [[Landau-szimbólum|<math>\mathcal{O}(n)</math>]], míg átlagos esetben az <math>n</math> szám <math>\scriptstyle \operatorname{len}_g(n)</math> hossza a <math>g</math> alapú számrendszerben <math>\mathcal{O}(\log n)</math>. A 802787 prímszám reciprokának periódushossza kettes számrendszerben 802786, tízes számrendszerben 401393. Ez túl sok ahhoz, hogy a táblázatban szerepeljen.
== Források ==
* [http://mathworld.wolfram.com/RationalNumber.html A racionális számok a MathWorld-ön]
==Fordítás==
{{fordítás|de|Rationale Zahl}}
{{Számhalmazok}}
{{Nemzetközi katalógusok}}
{{Portál|Matematika}}
[[Kategória:Számok]]
| 