„Reciprok” változatai közötti eltérés

A reciprok, mint [[függvény (mtematika)|függvény]] az egyik legegyszerűbb példa egy olyan függvényre, melynek ismétlése az eredeti helyet adja vissza, így önmaga inverze. Az ilyen függvényeket involúciónak[[involúció]]nak szokták nevezni.

A fogalom kiterjeszthető más struktúrákra is, ahol a szorzás nem feltétlenül [[kommutatív]], és nem feltétlenül [[asszociatív]]. Ekkor nem feltétlenül teljesül, hogy {{nowrap|''ab'' ≠ ''ba''}}, így lehet beszélni jobb és bal inverzről. Az asszociativitás biztosítja a két inverz egyenlőségét.

Függvények esetén ''f'' ⁻¹ gyakran az [[inverz függvényrefüggvény]]re utal, és nem a függvény inverzére. Például a szinuszfüggvény inverz függvénye az árkusz szinusz, a függvény inverze a koszekáns. Csak lineáris leképezések esetén van szó ugyanarról a függvényről. A reciprok és az inverz szavak különbözősége sem segít megkülönböztetni a kettőt, mivel különböző szerzők és nyelvek máshogy használják.

Néhány irracionális szám reciprokának fontos speciális tulajdonságai vannak. Ide tartozik az [[Euler-féle szám]] reciproka (≈&nbsp;0,367879) és az [[aranymetszés]] reciproka (≈&nbsp;0,618034). Az <math>f(1/e)</math> szám különlegessége, hogy az <math>f(x)=x^x</math> függvény globális minimuma. Az aranymetszés reciproka eggyel kisebb, mint az aranymetszés: <math>\varphi = 1/\varphi + 1</math>, és az egyetlen ilyen pozitív szám. Hasonló teljesül az ellentettjére, csak ellenkező előjellel: <math>-\varphi = -1/\varphi - 1</math>.

Az <math>f(n)=n+\sqrt {(n^2+1)}, n \in \mathbb{N}, n>0</math> függvény végtelen sok irracionális számot ad, melyek egész számmal térnek el reciprokátólreciprokuktól. Például <math>f(2)</math> esetén <math>2+\sqrt 5</math> adóik, melynek reciproka <math>1 / (2 + \sqrt 5) = -2 + \sqrt 5</math>, ami néggyel kevesebb. Ez azt is jelenti, hogy törtrészük megegyezik reciprokuuk törtrészével.

A nullától különböző valós és komplex számoknak van reciproka. Racionális számok reciproka racionális, valósaké valós, komplexeké komplex. Általában, a [[test (algebra)|testek]] olyan struktúrák, melyekben minden nullelemtől különböző elemnek van multiplikatív inverze. Belátható, hogy ez [[gyűrű (algebra)|gyűrűk]] esetén a másik irányba is teljesül; azaz, ha a nullelemen kívül minden elemnek van multiplikatív inverze, akkor a gyűrű test. Ha pedig [[algebra (struktúra)|algebra]], akkor test fölötti algebra. Az egész számok nem alkotnak testet; csak az 1 és a -1 inverze egész.

Egy gyűrű fölötti [[négyzetes mátrix]] akkor és csak akkor invertálható, ha determinánsa is. Ha a mátrixokat [[lineáris transzformációknaktranszformáció]]knak tekintjük egy adott bázisban[[bázis (lineáris algebra)|bázis]]ban, akkor az inverz mátrix az inverz lineáris transzformációt írja le ugyanabban a bázisban. Egy általánosabb függvény esetén azonban a két eset különböző eredményt ad, melyeket szigorúan meg kell különböztetni.

A valós analízisben az {{math|1= 1/''x'' = ''x''⁻¹}} függvény deriváltja[[derivált]]ja a hatványfüggvények deriválási szabályával számítható ki, ahol a kitevő -1:

Az [[integrál]] számításához nem használható a hatványfüggvények integrálási szabálya, mivel az nullával osztáshoz vezet:

ahol ln a [[természetes logaritmus]]. Ehhez vegyük észre, hogy <math>\frac{d}{dx} e^x = e^x</math>; tehát, ha <math>y = e^x</math>, és <math>x = \ln y</math>, akkor:

A reciprok tizedes tört alakja kiszámítható osztással. Sok osztási algoritmus azonban a reciprok kiszámításával kezdődik; azaz először kiszámolja a reciprokot, aztán szoroz az osztandóval. Felismerve, hogy az <math>f(x) = 1/x - b</math> függvénynek nullhelye van ''x'' = 1/''b''-ben, a reciprok [[Newton-módszerrelmódszer]]rel megkereshető:

A reciproknak megfelelő általánosabb fogalom [[félcsoport]]ok, [[csoport (matematika)|csoport]]ok és [[gyűrű (matematika)|gyűrűk]] esetén a multiplikatív inverz, azaz a „szorzás” műveletére vett [[inverz]] elem, amivel „szorozva” a művelet [[egységelem]]ét kapjuk. Ha létezik ilyen elem, akkor az eredeti elemet ''invertálhatónak'' nevezik, ha pedig minden elem invertálható, akkor a műveletet is invertálhatónak mondják.

Egy olyan algebrai struktúrában, ahol a szorzás asszociatív, az invertálható elemek nem lehetnek nullosztók[[nullosztó]]k. Az ''x'' elem nullosztó, ha nullelemtől különböző, és van olyan ''y'' elem, melyekre {{nowrap|1=''xy'' = 0}}. Ehhez elég megszorozni az {{nowrap|1=''xy'' = 0}} egyenletet balról ''x'' reciprokával, és az asszociativitást felhasználva egyszerűsíteni. Asszociativitás hiányában a szedeniók szolgálnak ellenpéldával.

Az előző állítás megfordítása csak [[véges gyűrűkbengyűrű]]kben teljesül. Például az egész számok gyűrűje asszociatív, de csak az 1-nek és a -1-nek van benne inverze. Véges gyűrűben minden olyan nem nulla elem invertálható, ami nem nullosztó. Először is, figyeljük meg, hogy {{nowrap|1=''f''(''x'') = ''ax''}} [[injektív függvény]]: ha {{nowrap|1=''f''(''x'') = ''f''(''y'')}}, akkor {{nowrap|1=''x'' = ''y''}}:

A különböző elemek különböző elemekre képeződnek le, a kép ugyanezekből a véges számú elemekből áll; emiatt a leképezés szükségképpen [[szürjektív függvény]] is. Speciálisan, az egységelem is előáll valamilyen ''x''-re, {{nowrap|1=''ax'' = 1}}; ez az ''x'' elem az ''a'' elem inverze.

Ha ''q'' alkalmas biztonságos prím, akkor 1/''q'' kifejtése bármely számrendszerben[[számrendszer]]ben alkalmas [[álvéletlen számokszám]]ok generálására.<ref name="Mitchell">Mitchell, Douglas W., "A nonlinear random number generator with known, long cycle length," ''[[Cryptologia]]'' 17, January 1993, 55–62.</ref> Egy [[biztonságos prím]] 2''p''&nbsp;+&nbsp;1 alakú, ahol ''p'' újra prím. A kifejtéssel nyert álvéletlen sorozat hossza ''q''&nbsp;&minus;&nbsp;1.