„Determináns (matematika)” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Nincs szerkesztési összefoglaló |
→Tételek: Helyesírás Címkék: Mobilról szerkesztett Mobil web szerkesztés |
||
65. sor:
#: 1.tétel: <math>det\begin{pmatrix}\dots & a_i& \dots &0 & \dots \end{pmatrix}=0</math>.
# Egy oszlop nem nulla skalárral való szorzása, két oszlop felcserélése és egyik oszlophoz egy másik oszlop skalárral való szorzatának hozzáadása nem változtat a determináns nulla voltán.
#: 1. axióma: nem nulla skalár kiemelése a determinánst nem nullával szorozza.
#: 3. axióma: két oszlop felcserélése a determinánst <math>-1</math>-
#: 2. tétel: nem változik a determináns, ha egyik oszlophoz egy másik oszlop skalárral való szorzatát adjuk.
# A determináns akkor és csak akkor nem <math>0</math>, ha [[Lineáris függetlenség|lineárisan függetlenek]] az oszlopvektorok.
#:<math>\rightarrow</math>: ha lineárisan összefüggő akkor <math>0</math>
#: <math>0=\sum_{i=1}^{n}{\lambda_i a_i} \rightarrow \exists\lambda_j \neq 0\rightarrow a_j = \sum_{i=1, i\neq j}^{n}{\frac{\lambda_i}{\lambda_j} a_i}</math>.
#: 2. tétel: <math>det(a_1 \dots a_j \dots a_n)=det(a_1 \dots \sum_{i=1, i\neq j}^{n}{\frac{\lambda_i}{\lambda_j} a_i} \dots a_n) = det(a_1 \dots 0 \dots a_n)</math>.
#: 3. tétel: <math>det(a_1 \dots 0 \dots a_n)=0</math>.
#: <math>\leftarrow</math>: ha lineárisan független, akkor nem <math>0</math>
#: A mátrix tetszőleges oszlopában biztos található egy nem nulla elem. Ellenkező esetben az oszlopvektorok lineárisan összefüggenének. Legyen ez az <math>a_{ij}</math>.
#: 4. tétel: A <math>j</math>-edik oszlopot megszorzom az <math>a_{ij}</math> reciprokával. Az új <math>a_{ij}=1</math>.
#:
# [[Kifejtési tétel]]
# [[Kifejtési tétel#Ferde kifejtési tétel|Ferde kifejtési tétel]]
# [[Sarrus-szabály]]
# A determinánsra adott két definíció ekvivalens.
#: 6. tétel: <math>det(A)=\sum_{j=1}^{n}{a_{ij}A_{ij}^{*}}=a_{i1}A_{i1}^{*}+a_{i2}A_{i2}^{*}+\dots+a_{in}A_{in}^{*}</math>.
#: Az <math>A \in T^{n\times n}</math> mátrix determinánsa n-tagú összegként írható fel, ahol <math>A_{ij}^{*}</math> elem a <math>T^{(n-1)\times (n-1)}</math> egy elemének determinánsát tartalmazza. A képletben az összes determinánst bontsuk újabb összegekre, az így kapottakat is, és így tovább. Addig, míg mindegyik <math>det(a_{ij})</math> alakú nem lesz, melynek értéke már triviálisan az <math>a_{ij}</math>. Összesen n-1 lépcsőben kell végrehajtani a kifejtési tételt. Így egy olyan összeget kapunk, amelynek összes tagja az <math>a_{1i_1}, a_{2i_2}, \dots, a_{ni_n}</math> elemek egy [[Szorzás#Szorzássorozat|produktuma]] valamilyen előjellel, ahol <math>( i_1, i_2, \dots, i_n )</math> az <math>( 1, 2, \dots, n )</math> elemek egy permutációja. Ezen felül az összes lehetséges permutációhoz tartozó szorzat pontosan egyszer szerepel az előjeles összegzésben:
#:<math>det(A)=\sum_{(i_1, i_2, \ldots, i_n)}{p_{ i_1, i_2, \dots, i_n } \prod_{j=1}^{n}{a_{ji_j}}}</math>.
| |||