„Határérték” változatai közötti eltérés

A határérték fogalmát a [[topológia]], illetve a [[kategóriaelmélet]] eszközeivel általánosabban is meg lehet határozni.

 

{{Bővebben|Sorozat határértéke}}

 

: <math>\forall V\ \exists N : n>N \Rightarrow a_n \in V</math>.

 

 

[[Metrikus tér|Metrikus terek]] esetén, melyek egyben topologikus terek is, a definíció speciálisabban megfogalmazható. Ez esetben rendelkezésünkre áll a [[Metrikus tér#Távolság(függvény)|távolságfüggvény]], amellyel környezetet definiálhatunk.

Magyarul, egy vektor akkor és csak akkor van közel egy másikhoz, ha külön-külön a koordinátái is közel vannak a másik koordinátáihoz. Így a vektorfüggvények és vektorsorozatok határértéke visszavezethető a koordináta-függvények határértékére.

 

 

A fenti definíciók egyike sem mondja meg, mit értünk végtelen határértéken, vagy végtelenben vett határértéken. Nem is határozhatja meg, mert a végtelen egy képzeletbeli pont. Nem része a térnek, míg a határérték és a pont, ahol a határértéket vizsgájuk a tér egy eleme kell hogy legyen. Azonban kiterjeszthetjük úgy a fogalmat, hogy definiáljuk a végtelen egy környezetét, így lehetőségünk nyílik a képzeletbeli pont körül vizsgálódni. Általános topológiai eszközökkel kicsit bonyolult, de [[Normált tér|normált]], s ezáltal egyben metrizálható terekben igen egyszerű.

Ekkor belátható, hogy a vektor normája is tart végtelenbe. Fordítva, ha a norma tart végtelenbe, akkor legalább egy koordináta abszolút-értéke is végtelenbe kell hogy tartson.

 

 

Fentebb már említésre került, hogy általános topologikus terek között ható függvénynek egy adott pontban, illetve pontsorozatnak létezhet több határértéke is. Ilyenkor a határértékek egy halmazáról, mint megoldásról érdemes beszélni. Ahhoz, hogy egy egyenlőségi formulával adhassuk meg a határértéket, annak egyértelműen kell léteznie. Ez egy speciális térben mindig igaz is:

Tehát metrikus terekben is egyértelmű a határérték. Értelemszerűen minden metrikus tér egyben topologikus tér is. Pontosabban, természetes módon topologikus térré tehető, ha az <math>\epsilon</math>-sugarú nyílt gömbök segítségével definiáljuk a környezeteket.

 

 

* általánosan: "''limesz iksz tart iksznullba efiksz egyenlő ipszilon''"

:<math>\lim_{t \to \infty} \int_{a}^{t}f(x)\ dx=\int_{a}^{\infty}f(x)\ dx </math>

 

 

{{Bővebben|Konvergencia (matematika)}}

Nem teljes tér például <math>\mathbb{Q}</math>. A sorozat, melynek <math>n</math>. tagja olyan racionális szám, mely a <math>\sqrt{2}</math>-t <math>n</math> tizedesjegy pontossággal írja le, határértéke <math>\sqrt{2}</math>, de ez nem racionális szám. Természetesen <math>\mathbb{R}</math>-ben a sorozat konvergens lenne, illetve Cauchy-konvergens <math>\mathbb{Q}</math>-ban. Ha a <math>\mathbb{Q}</math>-t teljessé tesszük, akkor pedig éppenséggel <math>\mathbb{R}</math>-t kapjuk.

 

{{DEFAULTSORT:Hatarertek}}

[[Kategória:Konvergencia (matematika)]]