|
== Topologikus tér ==
Legyen ''<math>H''</math> egy halmaz és ennek részhalmazaiból álló '''<math>\mathcal T''' </math> halmazrendszer (a hatványhalmaz egy részhalmaza).
Ha teljesülnek a következő axiómák:
*Az üres halmaz és maga ''<math>H''</math> elemei '''<math>\mathcal T''' </math>–nek,
*A '''<math>\mathcal T''' </math> véges sok elemének a metszete is eleme '''<math>\mathcal T''' </math>–nek,
*A '''<math>\mathcal T''' </math> akárhány elemének az uniója is eleme '''<math>\mathcal T''' </math>–nek,
akkor '''<math>\mathcal T''' </math> egy topológia ''(topológiai struktúra)'' a ''<math>H''</math> hordozó halmazon.
A <''math>(H'';''',\mathcal T''' )</math> kettőst topológiai térnek nevezzük, ''<math>H''</math> elemeit másképpen ''<math>H''</math> pontjainak nevezzük.
Egy olyan halmazrendszer, aminek összes uniója a topológiát adja, a [[topológia bázisa]]. Erre az teljesül, hogy elemeinek véges metszete előáll a halmazrendszer néhány elemének nem feltétlenül véges uniójaként. Egy halmazrendszer, aminek összes metszete bázis, a topológia [[előbázis]]a. Az előbázisra már nincs megkötés; a részhalmazok bármely rendszere lehet előbázis. Ha egy topológiának van megszámlálható bázisa, akkor a topológia M2.
=== Nevezetes topológiák ===
* '''Természetes (standard) topológia''': Amennyiben az <math>\Remathbb R^1</math> valós számegyenesen egy részhalmazt akkor nevezünk nyíltnak, ha az vagy üres, vagy minden pontjával együtt annak nyílt intervallumát is tartalmazza, akkor az összes ilyen nyílt halmazból álló <math>S^1</math> halmazrendszer a valós számhalmazon egy ú.n. '''természetes topológia'''. A <math><(\Remathbb R^1;,S^1>)</math> topologikus tér a valós analízis felépítésének alapja.
* '''Diszkrét topológia''': A ''<math>H''</math> halmaz minden részhalmazát tartalmazó topológiát diszkrétnek nevezzük.
* '''Indiszkrét topológia''': A kizárólag az üres halmazt és magát ''<math>H''</math>-t tartalmazó topológiát indiszkrétnek nevezzük.
* '''Véges-zárt topológia''': A véges zárt topológia tartalmazza az üres halmazt, valamint ''<math>H''</math> minden olyan részhalmazát, amelynek a komplementere véges. Mivel az üreshalmaz (''<math>H''</math> komplementere) véges, ezért ''<math>H''</math> értelemszerűen nyílt ebben a topológiában.
=== Speciális topologikus terek ===
;Metrikus tér
Ha az ''<math>M''</math> tér elempárjainak ''távolságát'' értelmezhetjük, akkor a tér [[metrikus tér|metrikus]]. A metrika (távolság függvény) az elempárokhoz egy nemnegatív <math>d(x,y)</math> számot rendel, melyre a következő tulajdonságok érvényesek:
* <math>d(x,y) = 0 \leftrightarrow x=y</math>,
* <math>d(x,y) = d(y,x)\,</math>,
* <math>d(x,y)+d(y,z) \ge d(x,z)</math>.
Az ''<math>(M;,d)</math>'' párost metrikus térnek nevezzük.
Minden metrikus tér természetes módon topologikus térré tehető, a következő definícióval:<br />
<math>Q\subset M</math> \quad \mbox{nyílt} \quad<math> :\Leftrightarrow \forall x \in Q \quad \exists\epsilonvarepsilon >0: B_\epsilon (x)\subset Q</math><br />
ahol <math>B_\epsilonvarepsilon (x):=\{m\in M:\quad; d(m,x)<\epsilonvarepsilon\}</math> az x körüli epszilon sugarú nyílt gömb. A nyílt gömbök nyílt halmazok.
Az ily módon az euklideszi metrika által az <math>\mathbb{R}^n</math> halmazon generált topológiát, természetes topológiának nevezzük.
;Hausdorff-tér
Egy ''<math>(H;,\mathcal T )</math>'' topologikus teret [[Hausdorff-tér]]nek, vagy T2-térnek nevezünk, ha a tér bármely két különböző pontjához létezik két [[diszjunkt]] nyílt halmaz, úgy, hogy az egyik pont az egyik halmaz, a másik a másik halmaz eleme. Avagy a pontok elválaszthatók nyílt halmazok segítségével.
Minden metrikus tér Hausdorff-tér, mivel két nem egyenlő pont távolsága nagyobb mint nulla d, ekkor a pontok körül vett d/2 sugarú nyílt gömbök szétválasztják a pontokat.
=== Nyílt \ zárt halmaz ===
A <math>H\ni p</math> elemeit pontoknak, <math>\mathcal T\ni R</math> elemeit nyílt halmazoknak nevezzük.
A ''<math>H''</math> egy részhalmaza nyílt halmaz, ha eleme '''<math>\mathcal T'''</math>-nek. ''<math>H''</math> részhalmaza zárt halmaz, ha komplementere valamely '''<math>\mathcal T'''</math>-beli (vagyis nyílt) halmaznak.
Egy halmaz azonban nem kizárólagosan ''nyílt'' vagy ''zárt'', előfordulhat, hogy egyszerre nyílt és zárt, mivel eleme a topológiának, de emellett egy másik nyílt halmaz komplementere is. Ezeket nevezzük ''nyílt-zárt'' halmazoknak. Az üres halmaz, valamint ''<math>H''</math> maga konstrukciójukból fakadóan nyílt-zártak. Azokról a halmazokról, amelyek a fenti kategóriák egyikébe sem tartoznak, nem tudunk mondani semmit.
=== Kompaktság ===
Összefüggő terek, útösszefüggő terek szorzata összefüggő, útszerűen összefüggő. Ha a terek ''M1'', illetve ''M2''-terek, akkor szorzatterük is teljesíti ezeket a megszámlálhatósági tulajdonságokat. A topologikus terek szorzása a kompaktságot is megőrzi; ez [[Tyihonov tétele]].
Legyen ''<math>X''</math> topologikus tér, és legyen rajta ~<math>\sim </math> pontok egy osztályozása. Ekkor az ''<math>X''/''(x''~''\sim y'')</math> faktortér pontjai a pontok osztályai, és a faktortér egy bázisát a teljes nyílt osztályok adják.
== Környezet ==
A (topologikus) tér pontjait (elemeit) a hordozó halmaz egy részhalmazához viszonyítva osztályozhatjuk. Legyen <math>A\subset H</math>, ekkor definiáljuk:
:* <math>\mboxoperatorname{int}A:=\cupbigcup \{Q\in T:Q\subset A \}</math> ''A'' '''belső része''', a legnagyobb [[nyílt halmaz]], mely tartalmazva van ''A''-ban. Az egyesítés jel azt jelenti, hogy a halmazrendszer minden halmazának unióját vesszük, ily módon ''A'' belső része önmaga is nyílt halmaz, mivel nyílt halmazok egyesítése. ''A'' belső részének elemeit ''A'' [[belső pont|'''belső pont'''jainak]]''' '''nevezzük. ''A'' belső részét gyakran <math>\overset{\circ}{A}</math>-val jelölik.
:* <math>\bar{A}:=\capbigcap \{Q\subset H:A\subset Q\quad \mbox{és}\quad Q^c\in T \}</math> ''A'' '''lezárása''', a legkisebb [[zárt halmaz]], mely tartalmazza ''A''-t. ''A'' lezárásának elemeit ''A'' '''érintkezési pont'''jainak nevezzük. ''A'' lezárása egy zárt halmaz.
:* <math>\partial A:=\bar{A}\backslash \mboxoperatorname{int}A</math> az ''A'' halmaz [[Határ (matematika)|határa]]. <math>\partial A</math> elemeit '''[[Határpont (matematika)|határpont]]'''oknak nevezzük. Ez a halmaz mindig [[Zárt halmaz|zárt]], mert két zárt halmaz metszete: <math>\partial A=\bar{A}\cap (H \backslash \mboxoperatorname{int}A)</math>
:* ''<math>p''</math> pontot ''A'' '''[[torlódási pont]]'''jának nevezzük, ha minden ''<math>p''</math>-t tartalmazó [[nyílt halmaz]] tartalmaz legalább egy ''<math>p''</math>-től különböző elemet ''A''-ból. Ekvivalensen ''<math>p''</math> torlódási pont, ha <math>p\in \overline{ A \backslash \{ p\} }</math>.
:* ''<math>p''</math> pontot ''A'' '''izolált pont'''jának nevezzük, ha ''<math>p''</math> eleme ''A''-nak, és létezik olyan ''Q'' nyílt halmaz, hogy <math>Q\cap A= \{ p\}</math>, azaz pontosan akkor, ha ''<math>p''</math> nem torlódási pont.
:* ''<math>p''</math> pontot ''A'' '''külső pont'''jának nevezzük, ha ''<math>p''</math> nem érintkezési pontja ''A''-nak.
'''Megjegyzések:'''
* ''p'' pontosan akkor ''A'' érintkezési pontja, ha ''p'' minden környezete nem diszjunkt ''A''-val.
* ''p'' pontosan akkor ''A'' határpontja, ha ''p'' minden ''K'' környezetére igaz, hogy K nem diszjunkt ''A''-val, és K nem diszjunkt ''A'' komplementerével.
* <math>\bar{A}=H\backslash \mboxoperatorname{int}(X\backslash A)</math>
* <math>\mboxoperatorname{int}A=A\backslash \partial A</math>
* Ha a topologikus tér összes pontja zárt, akkor a tér ''T1''.
* A Σ<math>\Sigma </math> halmazrendszer környezetbázisa az ''<math>x''</math> pontnak, ha minden eleme környezete ''<math>x''</math>-nek, és ''<math>x''</math> minden környezetéhez van Σ<math>\Sigma </math>-beli halmaz, ami szűkebb környezete ''<math>x''</math>-nek. Ha egy topologikus térben minden pontnak van megszámlálható környezetbázisa, akkor a tér ''M1''.
=== Konvergencia ===
Egy <''math>(H'';''',\mathcal T''' )</math> topologikus tér elemeiből álló <math>(x_n)</math> sorozat konvergál egy <math>x\in H</math> ponthoz, ha <math>x</math> minden <math>K</math> környezetéhez létezik <math>N</math> határindex, úgy, hogy <math>x_n\in K</math> minden <math>n\ge N</math> indexre. Jelölés: <math>\lim_{n \to \infty}x_n=x</math>. Ebben az esetben a sorozatot konvergensnek nevezzük.
Egy sorozat határértéke általános topologikus terekben nem feltétlenül egyértelmű, tehát egy sorozatnak több különböző határértéke is lehet. Hausdorff-terekben a konvergens sorozatok határértéke egyértelmű.
=== Lokális folytonosság ===
Két topologikus tér közötti leképezéssel adott függvény folytonos az értelmezési tartomány egy <math>p</math> pontjában,
: ha ''<math>p''</math> izolált pont,
: vagy ha '' <math>f(p)''</math> minden környezetének ősképe ''<math>p''</math>-nek egy környezete.
A valós-valós függvények esetén (és általában ha mindkét tér természetes topológiával bír) ez a definíció az [[Folytonos függvény|analízisből]] ismert definíciókkal ekvivalens, annak általánosítása.
=== Rugalmas alakváltozás ===
A rugalmas alakváltozás, vagy [[homotópia]] szemléletesen egy rugalmas lemezre rajzolt ábra torzulásaival írható le. A térbeli analógia ugyanígy kezelhető. A fizikai kivitelezhetőség feltétele, hogy az alakváltozás az anyag (a hordozó halmaz, a média) ''elszakadása nélkül'' menjen végbe és a transzformáció ''megfordítható'' (az eredeti alakzat rekonstruálható) legyen. Nem minden topologikus leképezés valósítható meg rugalmas torzítással, de igazolható, hogy a homotópia a homeomorfia speciális esete. A homotópia kötött egy ''<math>A''</math> részhalmazra, ha az ''<math>A''</math> halmaz képe nem mozoghat.
A homotópnak lenni ekvivalenciareláció. Egy ''<math>X''</math> topologikus térben az adott kezdőpontú hurkok homotópiaosztályai csoportot alkotnak az egymás után fűzésre, mint szorzásra. A csoport egységeleme a konstans hurok, és egy hurok inverze a megfordítottja, vagyis a visszafelé bejárt hurok. Ez az adott tér [[fundamentális csoport]]ja. A fundamentális csoportok vizsgálatával az [[algebrai topológia]] foglalkozik.
=== Fedőleképezés ===
Legyen ''<math>E''</math> és ''<math>B''</math> topologikus tér, és ''<math>E''</math> összefüggő. A ''<math>p'':\colon ''E''\to → ''B''</math> lokális homeomorfizmus [[fedőleképezés]], ha ''<math>B''</math> minden ''<math>b''</math> pontjának van ''<math>U''</math> környezete, aminek az ősképe nyílt halmazok diszjunkt uniója, és minden ilyen nyílt halmazt ''<math>p''</math> homeomorf módon képez ''<math>U''</math>-ra. Ekkor ''<math>B''</math> bázis, ''<math>E''</math> fedőtér, és a diszjunkt unió elemei rétegek. A fedés rétegszáma mindenütt ugyanannyi.
A [[fedő utak tétele]] szerint, ha ''<math>B''</math>-ben van egy ''b''<submath>0b_0</submath> kezdőpontú út, akkor ''<math>E''</math>-ben minden rétegben van egy ''e''<submath>0e_0</submath> kezdőpontú út, amit ''<math>p''</math> átvisz ''<math>s''</math>-be. Ez az út ''<math>s''</math> felemeltje. Ha van két út, ami ugyanott kezdődik, akkor felemeltjeik is ugyanott fognak kezdődni. Homotópia is felemelhető.
=== Projektív leképezések ===
| 