|
Ez ki a f*szt érdekel?
A '''vektoriális szorzat''' (más néven külső szorzat vagy keresztszorzat) háromdimenziós [[vektor]]okkal végzett olyan művelet, amelynek eredménye egy [[vektor]]. Míg a vektorok (és a rajtuk végzett műveletek közül például a [[skaláris szorzat]]) általánosíthatók több dimenzióra, a vektoriális szorzatot csak 3 dimenziós térben értelmezzük (7 dimenziós esetben is létezik vektoriális szorzat, ami azonban kevésbé használatos).
'''Jelölése''': '''a'''×'''b''' vagy ['''ab'''] (szóban: '''a''' kereszt '''b''')
'''Értelmezése''':
<math>|\mathbf{c}|=|\mathbf{a}\times\mathbf{b}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin(\theta)</math>
# Az eredményvektor '''nagysága''' ([[abszolútérték]]e, hossza) a két vektor hosszának és a közbezárt szögük [[szinusz]]ának szorzata (0° ≤ θ ≤ 180°).
# Az eredményvektor '''állása''' merőleges mind '''a'''-ra, mind '''b'''-re (az '''a''' és '''b''' vektorok síkjára).
# Az eredményvektor '''iránya''' olyan, hogy az '''a''', '''b''' és '''c''' ''jobbsodrású vektorrendszert'' alkot.
:(Egy '''a''', '''b''', '''c''' vektorrendszert akkor hívunk '''jobbsodrású'''nak, ha a '''jobb kezünk''' beállítható úgy, hogy hüvelykujjunk '''a'''-val, mutatóujjunk '''b'''-vel, középső ujjunk pedig (az előbbi két ujjunkra merőlegesen) '''c'''-vel azonos irányba mutat.)
[[Fájl:crossproduct.png|balra|200px]]
Derékszögű koordináta-rendszerben a '''c''' eredményvektor koordinátáit a következőképp kapjuk '''a''' és '''b''' koordinátáiból:
:<math>c_1 = a_2 b_3 - a_3 b_2</math>
:<math>c_2 = a_3 b_1 - a_1 b_3</math>
:<math>c_3 = a_1 b_2 - a_2 b_1</math>
Vagy rövidebben: <math>c_i = \sum_{j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_j b_k</math>, ahol <math>\varepsilon_{ijk}</math> a [[Levi-Civita-szimbólum]]ot jelenti.
{{clear}}
Ha elképzelünk egy paralelogrammát, aminek szomszédos oldalait az '''a''' és '''b''' vektorok alkotják, akkor '''a'''×'''b''' nagysága (tehát az eredményvektor hossza) éppen megegyezik a két vektor által kifeszített [[paralelogramma]] területével.
Két vektor vektoriális szorzata akkor és csak akkor [[nullvektor]], ha párhuzamos állásúak, hiszen ekkor a bezárt 0° vagy 180°, amiknek szinusza 0. Akkor lesz leghosszabb az eredményvektor, ha derékszögben állnak egymáshoz képest az összeszorzandó vektorok (mert 90° szinusza 1).
==Tulajdonságok==
| 