Wikipédia

„Környezet (matematika)” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
← Régebbi szerkesztésÚjabb szerkesztés →
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
VizuálisWikiszöveges
Nincs szerkesztési összefoglaló
Címkék: Mobilról szerkesztett Mobil web szerkesztés
Vesszőhibák javítása, kisebb formai és helyesírási javítások
1. sor:
[[Fájl:Neighborhood illust1.svg|thumb|Egy <math>V</math> halmaz a síkon csak akkor környezete a <math>p</math> pontnak, ha létezik egy olyan kellően kis sugarú körlap <math>p</math> középponttal, amelyet <math>V</math> bennfoglal (vagyis amely részhalmaza <math>V</math>-nek).]]
A [[Topológia|topológiában]] és a [[matematika]] más részein a '''környezet''' egy alapvető fogalom. Intuitív módon úgy lehet leírni, hogy egy pont környezete egy olyan halmaz, ami tartalmazza magát a pontot úgy, hogy „van még hely”, vagyis hogy a pont „mozgatható” ezen a környezeten (halmazon) belül.
[[Fájl:Neighborhood illust2.svg|thumb|Egy téglalap nem a környezete egyetlenegy csúcsának sem (és az élt alkotó pontoknak sem).]]
7. sor:
== Definíció ==
 
Ha<math>X</math> egy [[topologikus tér]] és <math>p</math>, <math>X</math> egy pontja akkor, <math>p</math> egy '''környezete''', <math>X</math> egy <math>V</math> részhalmaza aminek [[Halmaz#Részhalmaz|részhalmaza]] egy olyan <math>U</math> [[nyílt halmaz]], amely tartalmazza <math>p</math>-t, vagyis:
:<math>p \in U \subseteq V.</math>
 
Ez azzal ekvivalens, hogy <math>p\in X</math>, és, hogy <math>p</math>, a <math>V</math> egy [[belső pont|belső pontja]].
 
Jegyezzük meg, hogy magának a <math>V</math> környezetnek nem kell nyílt halmaznak lennie. Ha <math>V</math> [[Nyílt halmaz|nyílt]], akkor '''nyílt környezetnek''' vagy '''nyitott környezetnek''' is nevezik. Néhányan megkövetelik, hogy a környezetek nyitottak legyenek, ezért azt, hogy egy adott esetben mit értünk pontosan környezet alatt, érdemes közölni.
 
Azok a halmazok amelyek az összes általuk tartalmazott pontnak a környezetei biztosan nyitottak, hiszen felírhatóak nyílt halmazok uniójaként.
 
Egy pont összes környezetét tartalmazó halmazt az adott pont ''környezet-rendszernekrendszerének'' nevünk.
 
Ha <math>S</math> az <math>X</math> topologikus tér egy részhalmaza, akkor az <math>S</math> '''környezetén''' egy olyan <math>V</math> halmazt értünk, ami mágábanmagában foglal egy nyílt <math>U</math> halmazt, ami magában foglalja <math>S</math>-t. Ebből következik, hogy egy <math>V</math> halmaz akkor és csak akkor környezete egy <math>S</math> halmaznak, ha az környezete <math>S</math> minden pontjának. Továbbá, adott, hogy <math>V</math> akkor és csak akkor környezete <math>S</math>-nek, ha <math>S</math> részhalmaza <math>V</math> összes belső pontja által alkotott halmaznak (vagyis <math>V\setminus\partial V</math>-nak, ahol <math>\partial V</math> a <math>V</math> [[Határ (matematika)|határát]] jelöli).
 
== Metrikus terekben ==
[[Fájl:Neighborhood illust3.svg|right|thumb|Egy <math>S</math> halmaz a síkban és az <math>S</math> halmaz egy uniform környezete, <math>V</math>. (Szaggatottal jelölve egy <math>r</math>- sugarú „gömböt” amely középpontja az <math>S</math> egyik „csúcsa”, ill. az összes <math>B_r(p)</math> halmaz uniója által alkotott halmaz.)]]
Egy <math>M = (X, d)</math> [[metrikus tér|metrikus térben]] egy <math>V</math> halmaz a <math>p</math> pont környezete ha létezik egy [[nyitott gömb]] <math>p</math> középponttal és <math>r>0</math> sugárral úgy, hogy:
:<math>B_r(p) = B(p;r) = \{ x \in X \mid d(x,p) < r \}</math>
részhalmaza <math>V</math>-nek (vagyis <math>p</math> belső pontja <math>V</math>-nek).
 
<math>V</math>-t az <math>S</math> [[halmaz]] '''uniform környezetnekkörnyezetének''' hívják, ha létezik olyan pozitív <math>r</math> szám, hogy bármely <math>p \in S</math> elemre teljesül, hogy:
:<math>B_r(p) = \{ x \in X \mid d(x,p) < r \}</math>
részhalmaza <math>V</math>-nek (vagyis ha <math>r</math> megválasztása nem függ magától a <math>p</math> elemtől, hanem csakis az <math>S</math> és a <math>V</math> halmazok jellegétől).
 
Bármely <math>r > 0</math>-ra és <math>S</math>-re értelmezett egy '''<math>r</math>-környezet''' <math>S_r</math>, ami azon pontok halmaza, amelyek elemei <math>X</math>-nek és a távolságuk <math>S</math> egy elemétől kisebb, mint <math>r</math>. (Vagy egy másik ekvivalens definíció alapján, <math>SS_r</math><sub><math>r</math></sub> az uniója az ''összes'' nyitott <math>r</math> sugarú [[nyitott gömb|gömbnek]], amelyek középpontja <math>S</math> valamely pontja).
 
Ismert, hogy bármely <math>r</math>-környezet uniform környezet, ill., hogy egy halmaz akkor és csak akkor uniform környezet ha tartalmaz egy <math>r</math>-környezetet valamilyen <math>r>0</math>-val.
36. sor:
== Topológia környezetekből ==
 
Egy lehetséges definíciója a topológiáknak az, hogy először is definiáljuk pontok ''környezet-rendszerét '', majd ennek segítségével definiáljuk a nyílt halmazokat úgy, mint olyan halmazok, amelyek minden pontjukhoz tartalmaznak egy környezetet is.
 
Ezután <math>X</math> minden környezet-rendszerének uniójához létrehozunk egy <math>N(x)</math> halmazt minden <math>x \in X</math>-re amely <math>X</math> részhalmazaiból áll, és amelyre igazak az alábbiak:
42. sor:
# minden <math>U \in N(x)</math> bennfoglal egy <math>V \in N(x)</math> halmazt, úgy hogy bármely <math>y \in V</math>-re, <math>U \in N(y)</math>.
 
Bizonyítható, hogy a topológia mindkét definíciója ekvivalens, vagyis, hogy ekvivalens a definíció, amiben a környezet-rendszert nyitott halmazokkal definiáljuk, és az a definíció, amely a környezet-rendszer segítségével definiálja a nyitott halmazokat és a topológiát (lásd fent).
 
==Források==
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/wiki/Környezet_(matematika)”