„Bolzano–Darboux-tétel” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a kozmetikai javítások |
|||
5. sor:
Ha ''f'':'''R'''<math>\mapsto</math>'''R''' folytonos függvény<ref>Itt az ''f'':'''R'''<math>\mapsto</math>'''R''' jelölés talpasnyila azt jelenti, hogy az f függvény nem feltétlenül az egész '''R'''-en van értelmezve.</ref>, akkor minden, az értelmezési tartományában lévő ''I'' intervallum esetén ''f(I)'' is intervallum.
A tételt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy ha ''f'': [''a'',''b''] <math>\rightarrow</math> '''R''' folytonos függvény és ''f''(''a'')
▲A tételt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy ha ''f'': [''a'',''b''] <math>\rightarrow</math> '''R''' folytonos függvény és ''f''(''a'') ≠ ''f''(''b''), akkor tetszőleges ''f''(''a'') és ''f''(''b'') közötti ''y'' értékhez létezik olyan ''x'' ∈ (''a'',''b''), hogy ''f''(''x'') = ''y''. (Az egyenértékű megfogalmazásra vonatkozóan lásd: [[Darboux-tulajdonság#Ekvivalens megfogalmazások|Darboux-tulajdonság]].)
==Bizonyítás==
Előrebocsátjuk, hogy a H
Legyenek az y<sub>1</sub> és y<sub>2</sub> ''f(I)''-beli pontok olyanok, hogy y<sub>1</sub> < y<sub>2</sub>. Világos, hogy léteznek olyan ''I'' beli x<sub>1</sub> és x<sub>2</sub> pontok, hogy y<sub>1</sub>=f(x<sub>1</sub>) és y<sub>2</sub>=f(x<sub>2</sub>). Mivel ''f'' függvény és y<sub>1</sub>
A nyílt (y<sub>1</sub>,y<sub>2</sub>) intervallum része f(I)-nek, ugyanis legyen y
:<math>f_y:[x_1,x_2];x\mapsto f(x)-y</math>
leképezést. Ez folytonos, f<sub>y</sub>(x<sub>1</sub>)=y<sub>1</sub>-y<0 és f<sub>y</sub>(x<sub>2</sub>)=y<sub>2</sub>-y>0, így a [[Bolzano-tétel|Bolzano tétele]] szerint létezik zérushelye, mégpedig ez csak a nyílt (x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>) intervallumban lehet. Ha viszont x
:<math>y=f(x)\,</math>
s mivel y tetszőleges volt, ezért az egész nyílt intervallum része f(I)-nek.
25 ⟶ 24 sor:
Tetszőleges <math>T_1</math> és <math>T_2</math> [[Topologikus tér|topologikus terek]] esetén ha <math>f</math> : <math>T_1</math><math>\rightarrow</math><math>T_2</math>
folytonos és <math>C</math>
==Megegyzések==
| |||