„Teljes differenciál” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
52. sor:
<math>\mapsto</math>'''R'''<sup>3<sup> típusú függvények esetén a [[vektoranalízis]] ismer egy összefüggést a skaláris szorzás deriválására, ám ez feltételezi olyan [[differenciáloperátor]]ok ismeretét, mint a [[gradiens]], a [[rotáció]] és a "v grad". Ekkor az '''u''' és '''v''' függvények skaláris szorzatának deriváltja (mely ebben az esetben a grad('''u'''<math>\cdot</math>'''v''') kifejezés):
:<math>grad(\mathbf{uv})=(\mathbf{v},grad)\mathbf{u}+(\mathbf{u},grad)\mathbf{v}+\mathbf{v}\times rot\,\mathbf{u} +\mathbf{u}\times rot\,\mathbf{v}</math>
==Potenciálfüggvény teljes differenciálja==
Legyen Φ az '''R'''<sup>n<sup> egy nyílt részhalmazán értelmezett, valós értékű, mindenhol totálisan differenciálható függvény (az ilyet ''potenciálfüggvény''nek is nevezik). Φ teljes megváltozása egy adot '''r'''<sub>0<sub> pont körül kifejezhetjük a következőképpen:
:<math>\Delta\Phi=\Phi(\mathbf{r})-\Phi(\mathbf{r}_0)= grad\;\Phi(\mathbf{r_0})\cdot \Delta \mathbf{r}+\alpha(\mathbf{r})|\Delta \mathbf{r}|</math>
ahol
:<math>grad\; \Phi(\mathbf{r}_0)</math> jelen esetben a Φ Jacobi-mártixa '''r'''<sub>0<sub>-ban, mely lényegében a Φ gradiense,
:<math>\Delta \mathbf{r}=\mathbf{r}-\mathbf{r}_0</math> a független változó megváltozása, |Δ'''r'''| ennek a hossza, <math>\cdot</math> a skaláris szorzás,
:<math>\alpha(\mathbf{r})</math> pedig olyan függvény, mely folytonos módon eltűnik az '''r'''<sub>0<sub>-ban
Az előbbi képletben lévő lineáris kifejezést, azaz
:<math>d\Phi= grad\;\Phi(\mathbf{r_0})\cdot \Delta \mathbf{r}</math>
kifejezést nevezzük a Φ potenciálfüggvény teljes differenciáljának, melyet leggyakrabban koordinátákkal kiírva szokás megadni:
:<math>d\Phi= \frac{\partial \Phi}{\partial x_1}\cdot \Delta x_1+\frac{\partial \Phi}{\partial x_2}\cdot \Delta x_2 + ... +\frac{\partial \Phi}{\partial x_n}\cdot \Delta x_n </math>
===Teljes differenciál kritérium===
Gyakran a Δx mennyiségeket ''dx''-szel jelölik, így
:<math>d\Phi= \frac{\partial \Phi}{\partial x_1}\cdot d x_1+\frac{\partial \Phi}{\partial x_2}\cdot d x_2 + ... +\frac{\partial \Phi}{\partial x_n}\cdot d x_n </math>
Matematikai fizikai jellegű szövegekben sokszor szerepel, hogy '''valamely kifejezés teljes differenciál'''. Egy példa erejéig szorítkozzunk a ''kétváltozós függvények'' esetére. Azon, hogy
:<math>X(x,y)\,dx + Y(x,y)\,dy</math>
teljes differenciál, azt értik, hogy létezik olyan Φ(x,y) kétváltozós függvény, hogy ''X(x,y)dx'' + ''Y(x,y)dy'' éppen a Φ(x,y) megváltozásának lineáris része, azaz teljes differenciálja. Ez a kijelentés ekvivalens azzal, hogy az X(x,y) és Y(x,y) függvényeknek léteznek és folytonosak a parciális deriváltjai és "keresztben vett" parciális deriváltjaik egyenlők:
:<math>\frac{\partial X(x,y)}{\partial y} = \frac{\partial Y(x,y)}{\partial x} </math>
További ekvivalens megfogalmazás az, hogy X(x,y) és Y(x,y) folytonosan parciálisan differenciálható és az
:<math>\int\limits_{(x_0,y_0),\Gamma}^{(s,t)}X(x,y)\,dx + Y(x,y)\,dy</math>
vonalintegrál független a Γ úttól, azaz mindig ugyanazt az értéket adja az (x<sub>0<sub>,y<sub>0<sub>) ponttól az (s,t) pontig integrálva. (Lényeges, hogy ebben az esetben dx és dy csak integrálási szimbólum.)
== Lábjegyzet ==
| |||