„Hatványhalmaz” változatai közötti eltérés

Ha <math>H</math> [[halmaz]], akkor <math>\mathcal{P}(H)</math>-val jelöljük és a <math>H</math> halmaz '''hatványhalmazának''' nevezzük a <math>H</math> összes [[részhalmaz|részhalmazainak]]ainak halmazát.

Cantor elméletében, a [[naiv halmazelmélet|naiv halmazelméletben]]ben egyáltalán nem kétséges, hogy minden ''H'' halmaz esetén a <math>x\subseteq H</math> kijelentésből képezett <math>\{x\mid x\subseteq H\}</math> halmaz ''létezik.'' Az axiomatikus elméletekben ezzel szemben ezt a tényállást axiómában kell rögzíteni. Az ilyen axiómát ''hatványhalmaz axiómának'' nevezzük.

* '''Tétel''' – Ha ''H'' [[véges halmaz]] és elemszáma az ''n'' természetes szám, akkor ''H'' hatványhalmazának [[számosság|számossága]]a <math>| \mathcal{P}(H) | = 2^n</math>.

:* <math>(\mathcal{P}(H),\cup)</math> és <math>(\mathcal{P}(H),\cap)</math> (azaz rendre az unióval és a metszettel, mint műveletekkel ellátva) egységelemes, zéróelemes [[félcsoport|félcsoportok]]ok

:* <math>\mathcal{P}(H)</math> a <math>\subseteq</math> relációval ellátva [[Boole-háló|Boole-hálót]]t alkot.