„Mellékosztály” változatai közötti eltérés

A '''mellékosztály''' a [[matematika]] egyik ágának, az [[absztrakt algebra|absztrakt algebrának]] a fogalma. EgyHa adott egy [[csoport]], ennek egy eleme valamint egy [[alcsoportrészcsoport]]jáhozja, ésakkor valamelya főcsoportbelirészcsoport elemhez''adott tartozóelem szerinti'''mellékosztály''' mellékosztálya azoknak az elemeknek a [[halmaz]]a, amikamelyek aza alcsoportrészcsoport elemeinek aaz kiválasztottadott elemmel történővaló összeműveletezéséből adódnak. A mellékosztályok vagy egyenlők vagy [[diszjunkt]]ak, [[számosság]]uk pedig egyenlő az alcsoport [[rend (csoprtelmélet)|rendjével]] (azaz az alcsoportba tartozó elemek halmazának számosságával).

Ekkor a (<math>H,</math> *) alcsoportnakrészcsoportnak a <math>g</math> szerinti '''jobb oldali mellékosztálya''' a következő [[halmaz]]:

:<math>(H, *) * g = \{ h*g \, |\, h \in H\} \subseteq G</math>

míg '''bal oldali mellékosztálya''' pedig:

:<math>g * (H, *) = \{ g*h \,|\, h \in H\} \subseteq G</math>

Ha a <math>*</math> művelet [[kommutatív]], akkor a két halmazfogalom megegyezik, és elég egyszerűen ''mellékosztály''ról beszélni.

Egy adott alcsoportrészcsoport ugyanolyan oldali, de különböző elem szerinti mellékhalmazaimellékosztályai vagy [[diszjunkt]]ak, vagy egyenlők.:

:<math>(H,*) \leq (G,*) \qquad f,g \in G</math>

:<math>(H,*)*f \neq (H,*)*g \quad \Rightarrow \quad (H,*)*f \, \cap \, (H,*)*g = \emptyset</math>

:<math>(\exists x \in (H,*)*f: \quad x \in (H,*)*g) \quad \Rightarrow \quad (\forall y \in (H,*)*f: \quad y \in (H,*)*g)</math>

*Ha van közös elemük, akkor az egyik ilyen közös elemet jelölje ''x''. A mellékosztály definíciója szerint ''x'' tehát kétféleképpa iskövetkezőképp felírhatóírható:

*Legyen ''' ''y'' egy tetszőleges <math>(H,*)*f</math>-beli elem'''. Ekkor a definíció szerint ''y'' a következőképp írható:

:mivel a <math>(H,*)</math> struktúra csoport, a <math>*</math> művelet [[asszociatív]]:

:''d'' biztosan eleme <math>H</math>-nak, hiszen <math>a,b,c</math> elemei <math>H</math>-nak, a <math>(H,*)</math> struktúra pedig csoport, tehát létezik inverz a halmazon belül, valamint a művelet zárt a halmazra. Így a (2) egyenlet:

::<math>y \in (H,*) * g </math>

*Ezzel be lett bizonyítva, hogy ha van közös elem, akkor bármely elem, ami benne van az ''f'' szerinti mellékosztályban, az a ''g'' szerintiben is benne van. A szimmetria miatt fordítva is igaz: bármely elem, ami benne van a ''g'' szerinti mellékosztályban, az az ''f'' szerintiben is benne van. Ez azt jelenti, hogy ha a két halmaz nem diszjunkt, akkor egymásnak kölcsönösen részhalmazai[[részhalmaz]]ai, tehát egyenlők. ''Ezt kellett bizonyítani.''

MindenKözös mellékosztályrészcsoporthoz tartozó mellékosztályok [[számosság]]a megegyezik aza alcsoportrészcsoport rendjével:

:<math>(H,*) \leq (G,*),\quad \forall g\in G: \quad |(H,*)*g| = |g*H| = |H|</math>

::<math>\varphi:\, H \rightarrow (H,*)*g,\quad x \mapsto x*g</math> egyértelmű [[hozzárendelés]] ([[függvény]]).

::<math>x*g=y*g\qquad /()*g^{-1}</math>, mivel csoportról van szó, létezik inverz.

*Tehát a függvényértékek csak akkor egyenlők, ha a változók is, valamint a [[képhalmaz]] egyben [[értékkészlet]] is a mellékosztály definíciója alapján. Ebből következik, hogy &phi; kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés, azaz [[bijekció]].

*Mivel <math>H</math> és <math>(H,*)*g</math> között létesíthető bijekciókölcsönösen egyértelmű hozzárendelés (a &phi;), a két halmaz számossága a számosság definíciója szerint egyenlő:

::<math>|(H,*)*g| = |H| \,</math>

*UgyanígyA bizonyítás ugyanígy működik az ellenkező oldali mellékhalmazramellékosztályokra is, tehát az állítás bizonyítása kész.

[[Véges]] főcsoportcsoport minden alcsoportjánakrészcsoportjának rendje [[oszthatóság|osztja]] a főcsoportcsoport rendjét, azaz:

:<math>\forall (H,*) \leq (G,*):\quad |H|\,|\,|G|</math>

*<math>(H,*)</math> mindenkülönböző mellékosztályamellékosztályai diszjunktdiszjunktak és azonos számú, <math>|H|</math> darab elemet tartalmaznak.

::például a <math>(H,*)*g</math>-ben, hiszen <math>e*g = g</math>, ahol <math>e</math> a (<math>H,*)</math> csoport [[egységelem]]e (ami megegyezik <math>G</math> egységelemével).

*A teljes <math>G</math> halmaz elemszáma egyenlő a páronkéntkülönböző (tehát diszjunkt) mellékosztályok elemszámának összegével, hiszen átfedés nincs köztük de kitöltik a teljes halmazt. AEzeknek páronkénta diszjunktmellékosztályoknak mellékosztályoka számát <math>|(G\,*):(\,H,*)|</math> jelöli (ennek neve a ''(<math>H,*)''</math> alcsoportrészcsoport '''indexe''' ''(a <math>G,*)''</math> főcsoportracsoportra), így:

::<math>|(G\,*):(H\,*)H|\cdot |H| = |G|</math>