„Matroidaxiómák” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
85. sor:
<math> \forall F,F' \! \in \! \mathcal{F} : </math>
<center> <math> \left[ \ \ \left| F \right| +1 = \left| F' \right| \ \Rightarrow \ \left( \ \ \exist x \! \in \! F'-F : F \cup \left\{ x \right\} \in \mathcal{F} \ \ \right) \ \ \right] </math> </center>
* Ennek igazolása: ha ez igaz, akkor a bővíthetőségi axióma is teljesül, hiszen ha <math> \left| K \right| < \left| N \right| </math> független halmaz, akkor amennyiben <math> M \subseteq N </math>, úgy <math> M </math> is független a leszállási axióma szerint, és létezik olyan <math> M </math> is, hogy <math> \left| M \right| = \left| K+1 \right| </math> legyen, és ekkor a gyengített axióma szerint van egy <math> K </math>-t függetlenné bővítő <math> M-K \subseteq N-K </math>-beli elem, tehát ez a bővítő elem <math> N-K </math>-beli is. Fordítva pedig, ha az eredeti, erősebb bővíthetőségi axióma teljesül, azaz tetszőleges <math> \left| N \right| > \left| K \right| </math> független halmazok esetén bővíthető a <math> K </math>, akkor nyilván olyan <math> N </math>-ekre is, melyekre <math> \left| N \right| = \left| K \right| +1 </math>. A két állítás tehát egyenértékű (pontosabban, a bővíthetőség egyenértékű a gyenge bővíthetőség és a leszálló tulajdonság együttesével).
2. Ha két független diszjunkt halmaz egyike egy, a másika két elemű, akkor a nagyobb halmazban van olyan elem, mellyel a kisebbet bővítve független halmazt kapunk:
<math> \forall E,K \! \in \! \mathcal{F} : </math>
<center> <math> \left[ \ \ \left( \left| E \right| = \left| K \right| -1 = 1 \wedge E \cap K = \empty \right) \ \Rightarrow \ \left( \exist x \! \in \! K : E \cup \left\{ x \right\} \in \mathcal{F} \right) \ \ \right] </math> </center>
| |||