„Növelő részfélcsoport” változatai közötti eltérés

S részhalmazainak részfélcsoportsághoz a következő dolgok kellenek: 1). nem-üresség; 2). asszociatív a félcsoportművelet a részhalmazon; 3). algebrai zártság a szorzás műveletére. Az egységelem léte miatt az 1). követelmény teljesül, az egységelem (e) ugyanis se nem bal-, se nem jobbnövelő elem, mert bármely T⊂S valódi részhalmazra eT =&nbspTe = S ≠ T. Így e∈S⁽⁰⁾. Tetszőleges részhalmazra nyilvánvalóan igaz az asszociativitás; így 2). is teljesül. 3).-hoz igazolni kell, hogy bármely x,y∈S⁽⁰⁾-ra xy∈S⁽⁰⁾. Legyen x,y az S⁽⁰⁾ két (nem feltétlenül különböző) eleme, akkor tételünk azt állítja, hogy xy is se nem bal-, se nem jobbnövelő eleme S-nek. Tegyük fel ([[indirekt bizonyítás]]), hogy xy mégis csak bal- vagy jobbnövelő. Ha pl. balnövelő, akkor valamely A⊂S valódi részhalmaz esetén A(xy) =nbsp;(Ax)y = S. Ám ekkor B := Ax⊂S, mert különben x jobbnövelő elem lenne, holott nem az. Ezért nem lehet By = x(Ay) = S sem, mert akkor meg y lenne jobbnövelő elem, holott nem az. Ez pedig ellentmond annak, hogy xy balnövelő elem, azaz (xy)A = x(Ay) = S. Tehát xy nem balnövelő elem. Hasonlóan látható be, hogy nem is jobbnövelő. Így S⁽⁰⁾ valóban zárt a szorzásra [[QED|■]].