„Szferoid” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
→Térfogata: felszíne |
a felszínformulák levezetése: megnyúlt ellipszoid |
||
33. sor:
Ennek megfelelően az egyes országok különféle szferoidokat használnak térképi/geodéziai alapnak. [[Magyarország]] a múlt századi háromszögelési hálózatai alapjául a Bessel-féle ellipszoidot, a [[II. világháború]] utáni háromszögeléshez a [[Kraszovszkij]]-féle ellipszoidot alkalmazta. Az Egységes Országos Vetületi rendszer [[EOV]] létrehozásakor alapfelületként a Nemzetközi Geodéziai és Geofizikai Unió 1967. évi Geodéziai Vonatkozási Rendszerét (Geodetic Reference System), az IUGG GRS 1967 ellipszoidot választották alapnak. A [[GPS]] (Global Positioning System) a geocentrikus WGS 84 (WGS: World Geodetic System) ellipszoidot használja.
==A felszínformulák levezetése==
Legyen <math>{x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}-1=0</math> az ''a'' nagytengelyű és ''b'' kistengelyű ellipszoid egyenlete.
===Megnyúlt ellipszoid===
Az első Guldin-szabállyal
:<math>A = 2\pi\int_{-a}^a f(x)\sqrt{1+\left[f'(x)\right]^2}\mathrm{d}x</math>
Ez annak a forgástestnek a felszíne, ami az ellipszis x tengely körüli forgatásával keletkezik. Itt a generátorgörbe egyenlete <math>f(x)=\frac{b}{a} \sqrt{a^2-x^2} </math>, ami az ellipszoid egyenletét ''y''-ra megoldva adódik.
Továbbá szükség van a jobboldal ''x'' szerinti deriváltjára:
:<math>\int\sqrt{q-p x^2}\mathrm{d}x=\frac{x}{2} \sqrt{q-p x^2}+\frac{q }{2 \sqrt{p}}\arcsin\left(\frac{\sqrt{p}}{\sqrt{q}}x\right).</math>
Behelyettesítve
:<math>A = 2\pi\int_{-a}^a \frac{b}{a} \sqrt{a^2-x^2} \sqrt{1+\frac{b^2 x^2}{a^2 \left(a^2-x^2\right)}}\mathrm{d}x=
\frac{4\pi b}{a^2} \int_0^a \sqrt{a^4-\left(a^2-b^2\right) x^2}\mathrm{d}x.</math>
Itt kihasználtuk az x tengely körüli forgásszimmetriát.
Az integrál határainak figyelembevételével
:<math>A = \frac{4\pi b }{a^2}\left(\frac{a}{2} \sqrt{a^4-\left(a^2-b^2\right)a^2}+\frac{ a^4}{2\sqrt{a^2-b^2}}\arcsin\left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{\sqrt{a^4}}a\right) \right),</math>
Ennek egyszerűsítésével adódik a fenti képlet.
== Lásd még ==
*[[Ellipszoid]]
| |||