„Szferoid” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a felszínformulák levezetése: megnyúlt ellipszoid |
→A felszínformulák levezetése: lapított ellipszoid |
||
55. sor:
Ennek egyszerűsítésével adódik a fenti képlet.
===Lapított ellipszoid===
A számítások az előzőekhez hasonlók.
Most az ellipszoidot az y tengely körül forgatjuk meg.
Ismét az első Guldin-szabályt használjuk:
:<math>A = 2\pi\int_{\min(f(x_l),f(x_r))}^{\max(f(x_l),f(x_r))} f^{-1}(y)\sqrt{1+\left[\left(f^{-1}(y)\right)'\right]^2}\mathrm{d}y</math>
Az ellipszis egyenletét ''x''-re megoldva
:<math>f^{-1}(y)=\frac{a}{b} \sqrt{b^2-y^2}</math>
és behelyettesítve az <math>f(0) = b</math> és <math>f(a) = 0</math> értékeket kapjuk a következőt:
:<math>A = 4\pi\int_{0}^b \frac{a}{b} \sqrt{b^2-y^2} \sqrt{1+\frac{a^2 y^2}{b^2 \left(b^2-x^2\right)}}\mathrm{d}y=
\frac{4\pi a}{b^2} \int_0^b \sqrt{b^4+\left(a^2-b^2\right) y^2}\mathrm{d}y.</math>
ahol újra kihasználtuk az ellipszoid forgásszimmetriáját.
További helyettesítésekkel és átalakításokkal adódik
:<math>A = \frac{4\pi a }{b^2}\left(\frac{b}{2} \sqrt{b^4+\left(a^2-b^2\right)b^2}+\frac{ b^4}{2\sqrt{a^2-b^2}} \operatorname{arsinh}\left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{\sqrt{b^4}}b\right) \right).</math>
amit egyszerűsítve kapjuk a fenti képletet.
== Lásd még ==
*[[Ellipszoid]]
| |||