„Szakadás (matematika)” változatai közötti eltérés

A [[matematikai analízis|matematikai analízisben]] egy [[függvény]] '''szakadási pontjának''' nevezünk egy ''u'' számot, ha ''u'' benne van az értelmezési tartomány lezártjában, de ''u''-ban a függvény nem folytonos, vagy nincs értelmezve. A szakadások osztályozhatók aszerint, hogy a szakadási pontban a függvénynek végesek vagy sem a határértékeik. Az előbbit ''elsőfajú'', a másodikat másdfajú''másodfajú'' szakadásnak nevezik.

A jelentősnek tekintheőtekinthető analízis tankönyvek egy része kifejezetten hangsúlyozza, hogy szakadás csak az értelmezési tartomány pontjaiban vizsgálható, más jelentős tankönyvek, cikkek azonban az értelmezési tartományhoz közeli úgy nevezett [[torlódási pont|torlódási pontokban]] is vizsgálják a szakadási jelenségeket. Ez sokszor félreértéseket okozhat, hisz folytonos függvények esetén is szó eshet szakadásról. Például bármely az (''a'',''b'') korlátos és nyílt intervallumon értelmezett konstans függvény folytonos, de mégis beszélnek arról, hogy a határpontokban megszüntethető szakadása van, azaz kiterjeszthető folyonos függvénnyé.

Éppen ezért a szakadás fogalmát érdemes külön kezelni a folytonosság fogalmától és nem csak mint nemfolytonosságot kezelni, hanem önálló témaként gondolni rá. Ezt annál is inkább érdemes tenni, minthogy a szakadások osztályozása nem a folytonossággal hanem a határértékhatárértékkel kapcsolatos.

Egy ''D'' halmazhoz közeli pontok matematikai értelemben a ''D'' lezártjának pontjai, azaz ''D'' pontjai és azon ''u'' pontok, melyeknek minden gömbi környezetében van az ''u'' -tól különböző ''D''-beli elem. A lezártat sokszor <math>\scriptstyle{\overline{D}}</math>-vel vagy cl(''D'')-vel jelölik. Mivel az értelmezési tartomány [[izolált pontjábanpont]]jában minden függvény triviálisan folytonos ezért elegendő csak az értelmezési tartomány torlódási pontjaiban, azaz a ''D ' '' halmazon vizsgálni a szakadásokat.

Mégegyszer megjegyezzük, hogy egyes szakirodalmakban az ''u'' ∉ ''D'' esetesetnem beleértéseértik abele definícióbaa nemszakadás alkalmazottfogalmába.

A szakadások osztályozásánál megvizsgáljuk a szakadási pontban a bal- és jobboldali határértéket. A baloldali határérték fogalmának szerepeltetésénél elengedhetetlen, hogy az adott pont baloldali torlódási pont legyen, azaz a pont minden baloldali kipontozott környzete belemetszen a halmazba, hasolnóképpenhasonlóképpen a jobboldali is. Például a valós [[logaritmus]] függvény esetnesetén nincs értelme a 0-ban aloldalibaloldali határértékről beszélni, csak jobboldaliról.

# Azt mondjuk, hogy ''f''-nek '''elsőfajú szakadása''' van az ''u'' pontban, ha abban az esetben, amikor ''u'' valamely egyoldalioldaliegyoldali torlódási pontja ''D''-nek, akkor ezen az oldalon létezik és véges is az ''f'' egyoldali határértéke.

nem elsőfajú a szakadása.

Az elsőfajú szakadásokat érdemes tovább osztani két részre.

'''Definíció.''' ''f''-nek '''megszüntethető szakadása''' szakadása van az ''u'' elsőfajú szakadási helyen, ha ''f'' módosítható vagy kiterjeszthető abban a pontban folytonos függvénnyé. Ez természetesen akkor van, ha mindkét egyoldali határértékek létezése esetn ezek egyenlők.''f''-nek '''Ugrásaugrása''' van ''u''-ban, ha léteznek az egyoldali határértékek, de nem egyenlők.