„Matroidaxiómák” változatai közötti eltérés

=== Ekvivalencia a bővíthetőségi axiómarendszerrel ===

 

* Legyen <math> \left( U , \mathcal{F} \right) </math> bővíthetőségi tulajdonsággal rendelkező nem, üres leszálló halmazrendszer. Legyen <math> M,N \subseteq X </math> két ''maximális'' („nem bővíthető”) független halmaz X-ben. Ha az egyik szigorúan kisebb számosságú lenne, mint a másik, mondjuk <math> \left| M \right| < \left| N \right| </math> lenne ([[indirekt bizonyítás]]), akkor ez ellentmondana a bővíthetőségi tulajdonságnak, hiszen feltevéseinkből adódóan ''biztos'', hogy van olyan <math> x \in N-M </math>, amelyre <math> M \cup \left\{ x \right\} \in \mathcal{F} </math> független, de mivel <math> x \not\in M </math> és M véges (mivel az alaphalmaz is véges), ezért <math> M \subset M \cup \{ x \} </math>, ami ellentmond annak, hogy maximális, azaz nem bőívíthető. Tehát (< trichotom tulajdonsága miatt) bármely két maximális független halmaz azonos számosságú, tetszőleges <math> X \subseteq U </math> esetén.

* Legyen <math> \left( U , \mathcal{F} \right) </math> izokardinalitási tulajdonsággal rendelkező halmazrendszer. Legyen ekkor <math> K,N </math> két független halmaz úgy, hogy <math> \left| K \right| < \left| N \right| </math>. Ekkor <math> K </math> nem lehet maximális független halmaz az <math> N \cup K \subseteq U </math> (nem felt. független) részhalmazban, mert az ellentmondana annak, hogy az ilyenek egyenlő számosságúak, hiszen van egy nála nagyobb számosságú független részhalmaz (<math> N </math>). Tehát van olyan <math> x \in K \cup N , x \not\in K </math> elem, hogy ezzel bővítve <math> K </math>-t független halmazt kapjunk. Egyszóval <math> \left( K \cup N \right) - K = N-K </math> -beli, mert könnyen láthatóan e két halmaz egyenlő, így tehát <math> K </math> bővíthető egy <math> N </math> -beli elemmel, és pont ezt akartuk belátni.