„Descartes-szorzat” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
FoBe (vitalap | szerkesztései) a →Két halmaz Descartes-szorzata és néhány tulajdonsága: jobban néz ki a képlet |
a kisebb formai javítások |
||
3. sor:
== Két halmaz Descartes-szorzata és néhány tulajdonsága ==
Az ''A'' halmaz és a ''B'' halmaz, ilyen sorrendben vett Descartes-szorzata, melyet
: <math>A \times B</math>
jelöl, nem más, mint az
: <math>\{(a,b)\mid a\in A \;\wedge\; b\in B\}</math>
halmaz.
12. sor:
Ha A, B és C halmazok, akkor teljesülnek a következő [[disztributivitás]]i formulák:
: <math>A\times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)</math>
: <math>(B \cup C) \times A = (B \times A) \cup (C \times A)</math>
: <math> A\times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)</math>
: <math>(B \cap C) \times A = (B \times A) \cap (C \times A)</math>
32. sor:
Kérdéses lehet, hogy A × B valóban [[halmaz]]-e? Az A × B [[osztály (halmazelmélet)|osztály]] egy (x,y) eleme olyan, hogy x ∈ A, tehát {x} ∈ ℘(A) (azaz, az {x} az A [[hatványhalmaz]]ában van) és {x,y} ∈ ℘(A ∪ B), tehát (x,y) = {{x},{x,y}} ∈ ℘(℘(A ∪ B)). Tehát a részhalmaz [[axióma]] miatt A × B szintén halmaz, de ehhez fel kellett használni a pár-, a hatványhalmaz és az unióaxiómát.
== Halmazrendszer Descartes-szorzata ==
Legyen ''I'' tetszőleges halmaz, (A<sub>i</sub>)<sub>i∈I</sub> indexezett [[halmazrendszer]]. Ekkor azon függvények halmazát, melyek az I halmazon értelmezettek és minden i ∈ I elemhez A<sub>i</sub>-beli elemet rendelnek, tehát az
:<math> \{ f : I \to \bigcup_{i \in I} A_i\ |\ (\forall i)(f(i) \in A_i)\}</math>
halmazt az (A<sub>i</sub>)<sub>i∈I</sub> halmazrendszer Descartes-szorzatának nevezzük és a
:<math>\prod_{i \in I} A_i</math>,
42. sor:
szimbólummal jelöljük.
A Descartes-szorzat egy elemét az (A<sub>i</sub>)<sub>i∈I</sub> halmazrendszer egy ''kiválasztófüggvény''ének mondjuk. Világos, hogy egy kiválasztófüggvény által felvett érték a halmazrendszer egy elemének eleme, így összességében a kiválasztófüggvények a halmazrendszer elemeinek uniójába képeznek (ezt jelöltük U<sub>i∈I</sub> A<sub>i</sub>-vel). Egy halmazrendszer Descartes-szorzata természetesen üres halmaz, amennyiben akár az indexhalmaza, akár valamelyik eleme üres. Nem nyilvánvaló azonban, hogy ha egy halmazrendszernek sem az indexhalmaza, sem tetszőleges eleme nem üres, akkor a Descartes-szorzat sem üres. Ezt speciális esetekben (véges indexhalmazra, vagy egyelemű tagokat tartalmazó halmazrandszerre) igazolni lehet, ám általános esetben axiómában kell megkövetelni: ez a [[kiválasztási axióma]], mely szerint:
: ''Nemüres halmazok nemüres rendszerének Descartes-szorzata nem üres.''
Az sem nyilvánvaló, hogy az előbbi módon definiált szorzat kételemű halmaz esetén egybeesik a szócikk elején lévő módon definiált Descartes-szorzattal. Ha I = { α, β } kételemű indexhalmaz és A<sub>α</sub> továbbá A<sub>β</sub> két halmaz, akkor a
:<math>b: \prod_{i=\alpha,\beta}A_{i}\rightarrow A_{\alpha} \times A_{\beta}, f\mapsto (f(\alpha),f(\beta))</math>
67. sor:
[[Halmazrendszer]] Descartes-szorzatát a [[kategória (matematika)|kategóriaelmélet]] fogalmaival is lehet definiálni, éspedig a szorzat univerzális tulajdonsága segítségével. Eszerint, ha A=( A<sub>i</sub> )<sub>i∈I</sub> indexezett halmazrendszer, akkor ennek Descartes-szorzata olyan P halmaz a p=( p<sub>i</sub> )<sub>i∈I</sub>) függvényrendszerrel együtt, melyre teljesül, hogy egyetlen olyan h:Q <math>\rightarrow</math> P függvény van, amire az alábbi diagram kommutatív:
[[Fájl:Productcat.png|középre]]
azaz minden i ∈ I-re
:<math>q_i=p_i \circ h</math> .
Itt '''Set''' a halmazok kategóriája, <sup>I</sup>'''Set''' az I indexhalmazú halmazrendszerek kategóriája, ahol egy f morfizmus nem más mint olyan ( f<sub>i</sub> )<sub>i∈I</sub> függvényrendszerek, melyek elemei halmazelméleti függvények, köztük a művelet: ( f<sub>i</sub> )<sub>i∈I</sub>o( g<sub>i</sub> )<sub>i∈I</sub> = ( f<sub>i</sub>og<sub>i</sub> )<sub>i∈I</sub>, Δ a diagonalizáló funktor, mely egy H halmazhoz hozzárendeli azt az I-vel indexelt rendszert, melynek minden eleme H, egy f függvényhez pedig hozzárendeli azt az I-vel indexelt függvényrendszert, melynek minden eleme f. A megfogalmazás úgy rövidíthető, hogy a (P,p) pár a (Δ↓A) vegyespár kategória terminális objektuma.
Természetesen, mint minden univerzális tulajdonságon keresztül történő definíciónál a szorzat nem lesz egyértelmű, ellenben az alkalmas objektumok kitüntetett módon izomorfak lesznek egymással. Ha (P,p) és (P',p') az A halmazrendszer két Descartes-szorzata, akkor egyetlen olyan h:P <math>\rightarrow</math> P' bijekció van, amivel p=p'oh teljesül.
77. sor:
A Descartes-szorzat kategóriaelméleti értelemben duális párja a [[direkt összeg]]nek vagy koszorzatnak.
[[Kategória:
[[en:Cartesian product]]
| |||