„Mertens-függvény” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Kope (vitalap | szerkesztései) Nincs szerkesztési összefoglaló |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
1. sor:
[[Kép:Mertens-10_5.svg|thumb|250px|right|A Mertens-függvény n=10<sup>4</sup>-ig]]
[[Kép:Mertens-10_7.svg|thumb|250px|right|A Mertens-függvény n=10<sup>7</sup>-ig]]
A [[számelmélet]]ben a '''Mertens-függvény''' meghatározása:
:<math>M(n) = \sum_{k = 1}^n \mu(k)</math>,
minden n természetes számra, ahol
Mivel a Möbius-függvény csak −1, 0 és +1 értékeket vehet fel, nyilvánvaló, hogy a Mertens-függvény értéke csak lassan változik, és minden ''x''-re |''M''(''x'')| ≤ ''x''.
A [[hiperbola-módszer]]rel közvetlenül adódik, hogy a [[prímszámtétel]] ekvivalens azzal, hogy <math>M(x)=o(x)</math>. A [[Riemann-sejtés]] pedig azzal ekvivalens, hogy minden <math>\varepsilon>0</math>-ra <math>M(x) = O(x^{\frac12 + \varepsilon})</math>.
▲Mivel a Möbius-függvény csak −1, 0 és +1 értékeket vehet fel, nyilvánvaló, hogy a Mertens-függvény értéke csak lassan változik, és minden ''x''-re |''M''(''x'')| ≤ ''x''. A hiperbola-módszerrel közvetlenül adódik, hogy a [[prímszámtétel]] ekvivalens azzal, hogy ''M''(''x'')=''o''(''x''). A [[Riemann-sejtés]] pedig azzal ekvivalens, hogy minden ε>0-ra <math>M(x) = O(x^{\frac12 + \epsilon})</math>. Mertens 1897-ben felállította azt a sokkal erősebb sejtést, hogy alkalmas ''c''-re <math>|M(x)|< c\sqrt{x}</math>, sőt, hogy ''c''=1 megfelel, azaz <math>|M(x)|<\sqrt{x}</math> teljesül minden ''x''>1-re. Ezt [[Stieltjes]] már 1885-ben kimondta, sőt, egy [[Hermite]]-hez írt levelében azt állította, hogy be is bizonyította. Ebben a sejtésben lényegében senki nem hitt, mégis csak 1983. október 18-án sikerült megcáfolnia A. M. Odlyzkonak és H. J. J. te Rielének hosszadalmas számítógépes kutatás segítségével, ami felhasználta [[Lovász László]] nevezetes LLL-algoritmusát.
Azt is belátták, hogy végtelen sokszor teljesül <math>M(x)>1,06\sqrt{x}</math> illetve végtelen sokszor teljesül <math>M(x)<-1,009\sqrt{x}</math>.
Eljárásuk azonban nem volt konstruktív, azaz csak olyan ''x'' szám létezését bizonyította (ún. [[egzisztenciabizonyítás]]), amire <math>|M(x)|>\sqrt{x}</math>, nem sikerült még becslést sem adnia ''x'' nagyságára.
[[1985]]-ben [[Pintz János]] mély analitikus módszerek segítségével belátta, hogy van ilyen ''x''
<center><math>10^{3,21\cdot10^{4}}</math></center>
alatt. (Itt <math>o, O</math> az [[ordó-szimbólum|ordó]] jelölésre utal.)
25 ⟶ 33 sor:
| von Sterneck || 1897 || 1,5 · 10<sup>5</sup>
|-
| von Sterneck || [[1901]] || 5 · 10<sup>5</sup>
|-
| von Sterneck || [[1912]] || 5 · 10<sup>6</sup>
|-
| Neubauer || [[1963]] || 10<sup>8</sup>
|-
| Cohen és Dress || [[1979]] || 7,8 · 10<sup>9</sup>
|-
| Dress || [[1993]] || 10<sup>12</sup>
|-
| Lioen és van der Lune || [[1994]] || 10<sup>13</sup>
|-
| Kotnik és van der Lune || [[2003]] || 10<sup>14</sup>
|-
|}
| |||