„Háromszög-egyenlőtlenség” változatai közötti eltérés

valós számokra
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
(az egyenlőtlenség általánosítása)
(valós számokra)
<math>a<b+c</math>, <math>b<a+c</math> és <math>c<a+b</math>.
 
'''Bizonyítás:'''
== A bizonyítás ==
 
[[Fájl:hszegy.JPG]]
 
Ezt a tényt úgy is interpretálhatjuk, hogy "'''két pont között a legrövidebb út az egyenes'''", mert a háromszög-egyenlőtlenség egy speciális esete e kijelentésnek, míg utóbbi következménye az előbbinek.
==A tétel általánosításai==
===Valós számokra===
Valós számokra: <math>|a+b| \le |a|{+}|b|.</math>
 
'''Bizonyítás:'''
 
Mivel az egyenlőtlenség mindkét oldala nem negatív, ezért a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás:
 
:<math> a^2{+}2ab{+}b^2\ \le\ a^2{+}2{|ab|}{+}b^2.</math>
 
Mindkét oldalból kivonva az azonos tagokat:
 
:<math> 2ab \le 2|ab|.</math>
 
és ez mindig teljesül, mert
 
<math>x \le {|x|}</math> minden <math>x\in\R.</math>-re.
== Forrás ==
* Obádovics J. Gyula: Matematika