„Test (algebra)” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
→Résztest, testbővítés: algebrai és transzcendens bővítések |
→Résztest, testbővítés: normális bővítések |
||
65. sor:
Test és résztestének karakterisztikája egyenlő. A bővebb ''F'' test a ''K'' fölött [[vektortér|lineáris teret]] (sőt, [[Algebrai struktúra|algebrát]]) alkot a testműveletekkel; a testbővítés ''fokának'' nevezzük e vektortér dimenzióját.
Az ''F'' bővebb test egy eleme ''algebrai'' ''K'' fölött, ha gyöke egy nem konstans nulla ''K''-beli együtthatós
Egy testbővítés ''normális'', ha azok a kisebb test fölötti felbonthatatlan polinomok, amiknek van gyökük a bővebb testben, elsőfokú tényezők szorzatára bomlanak a bővebb test fölött. Megmutatható, hogy egy bővítés akkor és csak akkor ilyen, ha a bővebb test egy polinomhalmaz ''felbontási teste'', vagyis olyan bővítésről van szó, amiben a polinomhalmaz elemei elsőfokú tényezők szorzatára bomlanak. Minden polinomhalmaznak van felbontási teste, és az [[izomorfia]] erejéig egyértelmű. Ha egy test fölötti összes polinom felbontási testét vesszük, akkor az adott test [[algebrai lezárt]]ját kapjuk.
A résztestek és testbővítések témájával a nevezetes [[Galois-elmélet]] foglalkozik. A Galois-elmélet nevezetes alkalmazásai a szerkeszthetőségi feladatok, és az algebrai egyenletek megoldása gyökjelekkel. Így lehet bebizonyítani, hogy például mely szabályos sokszögek szerkeszthetők, és hogy a három klasszikus probléma: a kockakettőzés, a szögharmadolás, és a körnégyszögesítés megoldhatatlan. Továbbá a Galois-elmélettel belátható, hogy csak az első-, a másod-, a harmad- és a negyedfokú egyenleteket lehet mindig megoldani gyökvonások segítségével; csak ezekre létezik megoldóképlet.
| |||