„Test (algebra)” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
→Résztest, testbővítés: normális bővítések |
→Résztest, testbővítés: szeparábilis bővítések; a Galois-elmélet nem az összes bővítéssel foglalkozik, á, nem |
||
69. sor:
Egy testbővítés ''normális'', ha azok a kisebb test fölötti felbonthatatlan polinomok, amiknek van gyökük a bővebb testben, elsőfokú tényezők szorzatára bomlanak a bővebb test fölött. Megmutatható, hogy egy bővítés akkor és csak akkor ilyen, ha a bővebb test egy polinomhalmaz ''felbontási teste'', vagyis olyan bővítésről van szó, amiben a polinomhalmaz elemei elsőfokú tényezők szorzatára bomlanak. Minden polinomhalmaznak van felbontási teste, és az [[izomorfia]] erejéig egyértelmű. Ha egy test fölötti összes polinom felbontási testét vesszük, akkor az adott test [[algebrai lezárt]]ját kapjuk.
Egy ''K'' fölötti polinom ''szeparábilis'', ha ''K'' egy bővítésében sincsenek többszörös gyökei. Ha egy algebrai elem [[főpolinom]]ja szeparábilis, akkor az az elem szeparábilis, és a vele való bővítés is szeparábilis. Ha egy ''K'' test minden algebrai bővítése szeparábilis, akkor ''K'' ''tökéletes test''. Az összes nulla karakterisztikájú test tökéletes, és a véges testek is azok.
A résztestek és testbővítések témájával a nevezetes [[Galois-elmélet]] foglalkozik. A Galois-elmélet nevezetes alkalmazásai a szerkeszthetőségi feladatok, és az algebrai egyenletek megoldása gyökjelekkel. Így lehet bebizonyítani, hogy például mely szabályos sokszögek szerkeszthetők, és hogy a három klasszikus probléma: a kockakettőzés, a szögharmadolás, és a körnégyszögesítés megoldhatatlan. Továbbá a Galois-elmélettel belátható, hogy csak az első-, a másod-, a harmad- és a negyedfokú egyenleteket lehet mindig megoldani gyökvonások segítségével; csak ezekre létezik megoldóképlet.▼
▲A
== Prímtest ==
| |||