„Menger-szivacs” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
konstrukciója |
→Konstrukciója: térfogat, felszín, dimenzió számítása a konstrukció alapján |
||
18. sor:
#Vegyünk egy kockát
#Osszuk fel minden oldalát 9 négyzetre; ezek 27 kis kockára osztják a kockát, [[Rubik-kocka]] módjára.
#Eltávolítjuk minden lap középső kockáját, és a nagy kocka középső kockáját.
#Megismételjük az első három lépést minden kis kockára.
Ezzel az eljárással a kocka egyre inkább kiürül. Végtelenszer megismételve a Menger-szivacs marad.
Általában, a Menger-szivacs ''n''-edik iterációjában <math>N_n=20^n</math> kis kocka lesz. Másként, a Menger-szivacs felépíthető 20 olyan Menger-szivacsból, amiknek oldalhossza harmada a nagy Menger-szivacsnak. A kilyuggatott kocka oldalhossza az iteráció függvényében <math>L_n=\left( \tfrac{1}{3}\right)^n</math>. Innen az ''n''-edik iterációban kapott kocka térfogata <math>V_n=L_n^3 N_n = \left( \tfrac{20}{27}\right)^n</math>. A kilyuggatás miatt a térfogat a <math>V=1-\sum_{k=1}^\infty 20^{k-1} \cdot 7 \cdot \left(\dfrac{1}{3^k}\right)^3=0</math> térfogathoz konvergál, míg a felszín <math>O_n= \tfrac{1}{9} \cdot \left(\tfrac{20}{9}\right)^{n-1} \left[40+80 \left(\tfrac{2}{5}\right)^n \right]</math> <math>n \to \infty</math>-re a végtelenbe tart. A konvergencia gyors; a 16. lépésben az eredeti kocka térfogatának már csak az 1 %-a marad.
Innen kiszámítható a Menger-szivacs Hausdorff-dimenziója:
:<math> D = -\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\log(N_n)}{\log(L_n)} = \frac{\log(20)}{\log(3)} = 2{,}726833\ldots.</math>
A Menger-szivacs, mint „test” dimenziója 3-nál kisebb, viszont határoló felszínének dimenziója nagyobb, mint 2. Másként, a Menger-szivacs átmenetnek tekinthető a két dimenziós felület és a három dimenziós kocka között.
== Tulajdonságai ==
A Menger-szivacs a [[Cantor-halmaz]] és a [[Sierpinski-szőnyeg]] térbeli megfelelője; a szivacs minden lapja Sierpinski-szőnyeg, és minden átlója Cantor-halmaz. A szivacs egy [[kompakt halmaz]], [[Lebesgue-mérték]]e 0, [[topológiai dimenzió]]ja 1, [[Hausdorff-dimenzió]]ja <math>\frac{\log{20}}{\log{3}}</math> (kb. 2,727). Zárt halmazok metszeteként zárt, és mivel befoglalható a kiindulási kockába, ezért véges halmaz. Ezért a [[Heine–Borel tétel]] miatt [[kompakt halmaz|kompakt]]. Ezen kívül nem megszámlálható, és önhasonló struktúrája van.
| |||