„Súlyvonal” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Területfelező tulajdonság |
|||
5. sor:
A [[gömbi geometria|gömbháromszögtanban]] a gömbháromszög csúcsát és oldalfelező pontját összekötő „egyenes” és a fizikai értelemben vett súlyvonal, a csúcson átmenő és a területet megfelező „egyenes”, különbözhet, azonban ekkor is igaz, hogy az utóbbi értelemben vett súlyvonalak egy pontban metszik egymást (ez azonban általában nem harmadolópontja a súlyvonalaknak) <ref>Vidra - Lénárt: [http://www.sulinovaadatbank.hu/letoltes.php?d_id=3177 Gömbi geometria tanterv] 7. modul: ''gömbháromszögek''. 41. old. Hiv, beill. 2010. 09. 24.</ref>.
==Területfelező tulajdonság==
A háromszög [[terület]]e megkapható a háromszög egy oldalát a hozzá tartozó magassággal szorozva és ezt a szorzatot megfelezve. A súlyvonal megfelezi a háromszög egyik oldalát, és ezzel két háromszög keletkezik, amiknek egyik magassága megegyezik az eredeti háromszög magasságával, és az ehhez a magassághoz tartozó oldaluk fele az eredeti háromszög oldalának. Így a területük is fele lesz az eredeti háromszög területének.
== A háromszögön belül eső szakaszának hosszának kiszámítása a háromszög oldalaiból ==▼
Legyen a háromszög oldalainak hossza a; b; c, (úgy, hogy <math>b\le c</math>) az a-hoz tartozó súlyvonal s.▼
Tudjuk, hogy a fenti jelölésekkel az ''a'' oldalhoz tartozó magasság talppontja, és az a-hoz tartozó súlyvonal(s) távolsága <math>\frac{b^2-c^2}{2a}</math>, az a-hoz tartozó magasság pedig = <math>\sqrt{b^2-(\frac{a^2-c^2+b^2}{2a})^2}</math>-tel. A [[Pitagorasz-tétel]] alapján pedig ebből következik, hogy: <math>s=\sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}</math>.▼
==Tétel a súlypont létezéséről és a súlyvonalak osztási arányáról==
'''Tétel:''' A háromszög súlyvonalai egy pontban, a [[súlypont]]ban metszik egymást, és ez a pont a súlyvonalakat 2:1 arányban osztja.
18 ⟶ 15 sor:
Mivel ez bármely két súlyvonallal eljátszható, azért az összes súlyvonal egy pontban metszi egymást. Ez a pont a súlypont.
▲== A háromszögön belül eső szakaszának hosszának kiszámítása a háromszög oldalaiból ==
▲Legyen a háromszög oldalainak hossza a; b; c, (úgy, hogy <math>b\le c</math>) az a-hoz tartozó súlyvonal s.
▲Tudjuk, hogy a fenti jelölésekkel az ''a'' oldalhoz tartozó magasság talppontja, és az a-hoz tartozó súlyvonal(s) távolsága <math>\frac{b^2-c^2}{2a}</math>, az a-hoz tartozó magasság pedig = <math>\sqrt{b^2-(\frac{a^2-c^2+b^2}{2a})^2}</math>-tel. A [[Pitagorasz-tétel]] alapján pedig ebből következik, hogy: <math>s=\sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}</math>.
== Hivatkozások ==
=== Források, jegyzetek ===
| |||