„Konvex és konkáv függvény” változatai közötti eltérés

folytonosság és differenciálhatóság
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
(→‎Tulajdonságok: Jensen-egyenlőtlenség)
(folytonosság és differenciálhatóság)
[[Fájl:Konvex.jpg|thumb|rigt|A függvény '''konvex''' a [-1,9;0] intervallumban]]
==Tulajdonságok==
*Konvex függvények [[lineáris kombinációjakombináció]]ja újra konvex lesz, ha nincs benne negatív együttható. Konkáv függvények csupa nem negatív együtthatós lineáris kombinációja újra konkáv.
*Ha egy függvénysorozat [[majdnem|véges kivétellel]] csupa konvex, vagy konkáv függvényt tartalmaz, akkor a sorozat határértéke is ilyen lesz.
*Konvex függvények [[felső burkolójaburkoló]]ja konvex, konkáv függvények [[alsó burkolójaburkoló]]ja konkáv.
*Teljesül a [[Jensen-egyenlőtlenség]]: ha ''f'' konvex, és a λ<sub>i</sub> együtthatók egyike sem negatív, akkor
 
:<math>f\left(\sum_{i=1}^n\lambda_i x_i\right) \leq \sum_{i=1}^n \lambda_i f\left(x_i\right).</math>
 
Ha ''f'' konkáv, akkor az egyenlőtlenség fordított irányú.
*Nyílt intervallumon konvex, vagy konkáv függvény [[folytonosság|folytonos]] azon az intervallumon. Megfordítva, ha egy nyílt intervallumon folytonos függvényre teljesül a Jensen-egyenlőtlenség, akkor a függvény az egyenlőtlenség irányától függően konvex, vagy konkáv.
*Nyílt intervallumon konvex, vagy konkáv függvény [[majdnem|majdnem mindenütt]] differenciálható.
{{csonk-dátum|csonk-mat|2006 novemberéből}}